Question

【題目】 （2016福建南平第16題）如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結(jié)論：

①CD=CP=CQ；

②∠PCQ的大小不變；

③△PCQ面積的最小值為；

④當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時(shí)，△PDQ是等邊三角形，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

試題分析：①∵將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴CP=CD=CQ，∴①正確；

②∵將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∴∠PCQ=360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）=360°﹣（120°+120°）=120°，∴∠PCQ的大小不變；∴②正確；

③如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PC交PC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短時(shí)，S△PCQ最小，即：CD⊥AB時(shí)，CD最短，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，此時(shí)CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短為2，∴S△PCQ最小===，∴③錯(cuò)誤；

④∵將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等邊三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等邊三角形，∴④正確，故答案為：①②④．