【題目】(1)操作與探究:如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上,折痕的一端G點(diǎn)在邊BC上,BG=10.
①第一次折疊:當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AB邊上時,如圖1,求折痕GF的長;
②第二次折疊:當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AD邊上時,如圖2,證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長.
(2)拓展延伸:通過操作探究發(fā)現(xiàn)在矩形紙片ABCD中,AB=5,AD=13.如圖3所示,折疊紙片,使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處,折痕為PQ.當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動時,折痕的端點(diǎn)P,Q也隨之移動.若限定點(diǎn)P,Q分別在AB,AD邊上移動,則點(diǎn)A′在BC邊上可移動的最大距離是 .
【答案】(1)①GF=5;②4;(2)4.
【解析】
(1)①首先利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出AE的長,進(jìn)而利用勾股定理求出AF和EF的長,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;
②首先證明四邊形BGEF是平行四邊形,再利用BG=EG,得出四邊形BGEF是菱形,再利用菱形性質(zhì)求出FG的長;
(2)分別利用當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時,以及當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時,求出A′B的極值進(jìn)而得出答案.
(1)①解:如圖①過G作GH⊥AD,
在Rt△GHE中,GE=BG=10,GH=8,
所以,EH==6,AE=10-6=4,
設(shè)AF=x,則EF=BF=8-x,
則AF2+AE2=EF2,
∴x2+42=(8-x)2,
解得:x=3,
∴AF=3,BF=EF=5,
在Rt△BFG中,根據(jù)勾股定理得FG=.
②證明:如圖②,過F作FK⊥BG于K,
∵ABCD是矩形,
∴AD∥BC,BH∥EG,
∴四邊形BGEF是平行四邊形;
由對稱性知,BG=EG,
∴四邊形BGEF是菱形.
BG=BF=10,AB=8,AF=6,
∴KG=4,FG=;
(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時,根據(jù)翻折對稱性可得BA′=AB=5,
如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時,根據(jù)翻折對稱性可得
A′D=AD=13,
在Rt△A′CD中,A′D2=A′C2+CD2,
即132=(13-A′B)2+52,
解得:A′B=1,
所以點(diǎn)A'在BC上可移動的最大距離為5-1=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩班各推選10名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽,按照比賽規(guī)則,每人各投了10個球,兩個班選手的進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)如表,請根據(jù)表中數(shù)據(jù)解答下列問題
進(jìn)球數(shù)/個 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 |
甲 | 1 | 1 | 1 | 4 | 0 | 3 |
乙 | 0 | 1 | 2 | 5 | 0 | 2 |
(1)分別寫出甲、乙兩班選手進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù);
(2)如果要從這兩個班中選出一個班級參加學(xué)校的投籃比賽,爭取奪得總進(jìn)球團(tuán)體的第一名,你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班?如果要爭取個人進(jìn)球數(shù)進(jìn)入學(xué)校前三名,你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,矩形ABCD中,AB=12cm,AD=5cm,E是DC上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與D、C重合)連接AE,以AE所在的直線為折痕,折疊紙片,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′,點(diǎn)F為線段BC上一點(diǎn),連接EF,以EF所在的直線為折痕折疊紙片,使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落在直線ED′上,若CF=4時,DE=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年來,為了緩減環(huán)境污染,某區(qū)加大了對煤改電的投資力度,該區(qū)居民在2015年有7500戶完成煤改電,2017年有10800戶完成了煤改電.
(1)求該區(qū)2015年至2017年完成煤改電戶數(shù)的年平均增長率;
(2)2018年該區(qū)計(jì)劃要完成煤改電的戶數(shù)比2017年要有所增長,但增長率不超過15%,請求出2018年最多有多少戶能完成煤改電.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的邊上的中點(diǎn),過點(diǎn)的一條直線交于,交的延長線于,交于,我們可以證明成立(不要求考生證明).
如圖,若將圖中的過點(diǎn)的一條直線交于,改為交的延長線于,交的延長線于,改為交于,其它條件不變,則還成立嗎?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說出理由;
根據(jù)圖,請你找出、、、四條線段之間的關(guān)系,并給出證明;
如圖,若將圖中的過點(diǎn)的一條直線交于,改為交的反向延長線于,交的延長線于,改為交于,其它條件不變,則得到的結(jié)論是否成立?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,,則對于下列結(jié)論:
①當(dāng)時,;
②方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,;
③.
其中正確的結(jié)論有________(只需填寫序號即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,C是線段AB上一點(diǎn),分別以AC.BC為邊作等邊△DAC和等邊△ECB,AE與BD.CD相交于點(diǎn)F、G,CE與BD相交于點(diǎn)H.
(1)求證:△ACE≌△DCB;
(2)求∠AFB的度數(shù).
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