Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與拋物線y=ax2+bx+c交于A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))兩點(diǎn)，點(diǎn)C是該拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作平行于y軸的直線交AB于D，分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線CD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F．

特例感悟：

（1）已知：a=-2，b=4，c=6．

①如圖①，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，直線AB與x軸重合時(shí)，CD=____，|a|·AE·BF=___．

②如圖②，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，直線AB//x軸且過(guò)拋物線與y軸的交點(diǎn)時(shí)，CD=_____，|a|·AE·BF=_______．

③如圖③，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，直線AB的解析式為y=x-3時(shí)，CD=___，|a|·AE·BF=___．

猜想論證：

（2）由（1）中三種情況的結(jié)果，請(qǐng)你猜想在一般情況下CD與|a|·AE·BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．拓展應(yīng)用．

（3）若a=-1，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-4，2，點(diǎn)C在直線AB的上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)C不與點(diǎn)A，B重合)，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，利用（2）中的結(jié)論求出△ACB的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）①6，6；②2，2；③7，7；（2），見解析；（3）27

【解析】

(1)①求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，得到點(diǎn)E、D、F三點(diǎn)重合，即可求得CD的長(zhǎng)以及|a|·AE·BF的值；

②求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，得到點(diǎn)E、D、F三點(diǎn)重合，即可求得CD的長(zhǎng)以及|a|·AE·BF的值；

③解方程組求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，即可求得CD的長(zhǎng)以及|a|·AE·BF的值；

(2)利用參數(shù)法，設(shè)A、B、C三橫坐標(biāo)分別為：，直線AB的解析式為，根據(jù)一元二次方程根與的關(guān)系，求得|a|·AE·BF，再利用兩點(diǎn)之間距離公式求得CD，即可證明；

(3)設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，△ACB的面積為S，根據(jù)，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-4，2，得到，，，利用三角形面積公式即可得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值即可求解．

(1)已知：，則拋物線的解析式為，

①令，則或,

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

∵直線AB與x軸重合，

∴點(diǎn)E、D、F三點(diǎn)重合，

如圖：

∴CD=6，

|a|·AE·BF=；

②令，則,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為

拋物線的對(duì)稱軸為，

∵直線AB//x軸，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

∵直線AB//x軸，

∴點(diǎn)E、D、F三點(diǎn)重合，

如圖：

∴CD=8-6=2，

|a|·AE·BF=；

③解方程組得：或，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

∵直線CD平行于y軸，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，

把代入得：，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為

如圖：

∴CD=CF-FD=6+1=7，

|a|·AE·BF=；

(2)數(shù)量關(guān)系為：，

理由如下：

設(shè)A、B、C三橫坐標(biāo)分別為：，直線AB的解析式為，

聯(lián)立方方程和，消去并整理得：

，

∵是方程的兩根，

∴，，

則，，

∴·AE·BF=

，

又∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

∵直線CD平行于y軸，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，

把代入得：，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為

∴CD=

=，

∴CD=·AE·BF；

(2)設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，△ACB的面積為S，

過(guò)點(diǎn)C作CD平行于y軸交AB于D，

∵點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-4、2，

則，，

∵，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-4，2，

則拋物線的解析式為，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，

設(shè)直線AB的解析式為，則，

解得：，

∴直線AB的解析式為，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為點(diǎn)D的坐標(biāo)為

∴，

∵，

由于，

∴當(dāng)時(shí)，．