Question

如圖，△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處，且FD⊥BC．
（1）判斷四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳C²=AB²+BC²，根據(jù)勾股定理和逆定理知，△ABC是直角三角形，∠B=90°，得出AB∥FD，由折疊的性質(zhì)知，AF=DF，∠EAF=∠EDF，利用FD⊥BC得出∠EDB=∠C，則ED∥AC，得出四邊形AEDF是平行四邊形，再利用AF=FD，所以四邊形AEDF是菱形．
（2）由（1）知，四邊形AEDF是菱形，利用菱形的性質(zhì)得出ED=AE=FD=AF，求出DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AD的值．

解答：（1）四邊形AEDF是菱形．
證明：因?yàn)锳B=3，BC=4，AC=5，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴AB⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，
∴AE∥FD，
∵由折疊的性質(zhì)知，∠EAF=∠EDF，
∵FD⊥BC，
∴∠EDB+∠FDE=90°，
∵∠C+∠BAC=90°，
∴∠EDB=∠C，
∴ED∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AF∥FD，
∴平行四邊形AEDF是菱形．

（2）解：∵四邊形AEDF是菱形，
∴ED=AE=FD=AF，
∵FD∥AB，
∴

FC

AC

=

FD

AB

，
∴

5-AF

5

=

FD

3

，
解得：DF=

15

8

，
故BE=3-

15

8

=

9

8

，
故BD=

DE2-BE2

=

( 15 8 )2-( 9 8 )2

=

12

8

=

3

2

，
則AD=

BD2+AB2

=

3 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的翻折變換以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等得出是解題關(guān)鍵．