Question

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x= 上．

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合），過點(diǎn)M作∥BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y= 經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）

∴c=4，

∵頂點(diǎn)在直線x= 上，

∴﹣ =﹣ = ，

∴b=﹣ ；

∴所求函數(shù)關(guān)系式為 ；

（2）解：在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB= ，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），

當(dāng)x=5時(shí)，y= ，

當(dāng)x=2時(shí)，y= ，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

（3）解：設(shè)CD與對稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，

設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

∴ ，

當(dāng)x= 時(shí)，y= ，

∴P（ ），

（4）解：方法一：

∵M(jìn)N∥BD，

∴△OMN∽△OBD，

∴ 即 得ON= ，

設(shè)對稱軸交x于點(diǎn)F，

則 （PF+OM）OF= （ +t）× ，

∵ ，

S△PNF= ×NFPF= ×（ ﹣ t）× = ，

S= （﹣ ），

=﹣ （0＜t＜4），

a=﹣ ＜0∴拋物線開口向下，S存在最大值．

由S△PMN=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，S取最大值是 ，

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0， ）．

方法二：

∵點(diǎn)B（0，4），D（2，0），∴KBD= =﹣2，，

∵M(jìn)N∥BD，

∴KMN=KBD=﹣2，

∵M(jìn)（0，t），∴l(xiāng)MN：y=﹣2x+t，當(dāng)y=0時(shí)，x= ，

∴N（ ，0），

過點(diǎn)N作x軸的垂線交PM于H，

∵P（ ， ），∴l(xiāng)PM：y= x+t，

把x= 代入，得y= ，

∴HN= ，

∴S△PMN= HN×（PX﹣MX）= ，

當(dāng)t= 時(shí)，S= ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0， ）．

【解析】（1）把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出C的值，根據(jù)對稱軸得出b的值，從而求出拋物線的解析式；
（2）利用勾股定理得出AB的長，利用菱形的性質(zhì)得出BC=CD=DA=AB=5，從而得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在所求拋物線上；
（3）設(shè)CD與對稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（4）方法一：由MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=由此即可表示出ON的長，由S= S 梯 形 P F O M- S △ M O N-S△PNF根據(jù)梯形的面積公式和三角形的面積公式表示出S，然后根據(jù)二次函數(shù)求最值得方法求解即可；方法二： 由B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出KBD=-2，由MN∥BD得KMN=KBD，進(jìn)而求出N點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)N作x軸的垂線交PM于H，求出HN，根據(jù)三角形面積公式建立出函數(shù)模型，根據(jù)二次函數(shù)求最值得方法得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．