Question

（2013•廈門(mén)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)B（0，

3

），點(diǎn)A在第一象限且AB⊥BO，點(diǎn)E是線(xiàn)段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上．若點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)OM對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（

1

，

3

）．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出OB的長(zhǎng)，再連接ME，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得OB=OE，再求出AO的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，利用∠A的余弦值列式求出AM的長(zhǎng)度，再求出BM的長(zhǎng)，然后寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：解：∵點(diǎn)B（0，

3

），
∴OB=

3

，
連接ME，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)OM對(duì)稱(chēng)，
∴OB=OE=

3

，
∵點(diǎn)E是線(xiàn)段AO的中點(diǎn)，
∴AO=2OE=2

3

，
根據(jù)勾股定理，AB=

AO2-OB2

=

(2 3 )2- 3 2

=3，
tan∠A=

AE

AM

=

AB

AO

，
即

3

AM

=

3

2 3

，
解得AM=2，
∴BM=AB-AM=3-2=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，

3

）．
故答案為：（1，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)并作出輔助線(xiàn)構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．