Question

【題目】如圖：拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，4），對(duì)稱(chēng)軸x=2與x軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為M，且DM=OC+OD，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求當(dāng)x取多少時(shí)，S的值最大，最大是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OC=4，OD=2，

∴DM=6，

∴點(diǎn)M（2，6），

設(shè)y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣ ，

∴該拋物線解析式為y=﹣ （x﹣2）2+6

（2）解：設(shè)點(diǎn)P（x，﹣ （x﹣2）2+6），即（x，﹣ x2+2x+4），

過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，

設(shè)直線CD為y=kx+4，代入（2，0）得k=﹣2，即y=﹣2x+4，

∴點(diǎn)F（x，﹣2x+4），

∴PF=﹣ x2+2x+4﹣（﹣2x+4）=﹣ x2+4x，

∴S= 2（﹣ x2+4x）=﹣ x2+4x，

令y=a（x﹣2）2+6=0，

解得x1=2+2 ，x2=2﹣2 （舍去），

∴0＜x＜2+2 ，

∵S=﹣ x2+4x=﹣ （x﹣4）2+8，

∴當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值為8．

【解析】（1）由OC與OD的長(zhǎng)，求出MD的長(zhǎng)，確定出M坐標(biāo)，設(shè)y=a（x﹣2）2+6，把C坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；（2）由拋物線解析式設(shè)出P坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P做x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，利用待定系數(shù)法求出直線CD解析式，進(jìn)而表示出F坐標(biāo)，得到PF的表達(dá)式，表示出S與x的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S最大值時(shí)x的值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a)．