(2006•岳陽(yáng))如圖拋物線y=,x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)把△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到四邊形AEBC:
①求E點(diǎn)坐標(biāo);
②試判斷四邊形AEBC的形狀,并說明理由;
(3)試探索:在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAD的周長(zhǎng)最?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】分析:(1)分別令x=0以及y=0求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)依題意得出BC∥AE,又已知A、B、C的坐標(biāo)易求出點(diǎn)E的坐標(biāo),又因?yàn)樗倪呅蜛EBC是平行四邊形且∠ACB=90°可得四邊形AEBC是矩形.
(3)作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接′'D與直線BC交于點(diǎn)P.則可得點(diǎn)P是使△PAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn),然后求出直線A′D,直線BC的函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)y=-,
令x=0,得y=
令y=0,

即x2+2x-3=0,
∴x1=1,x2=-3
∴A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,0),B(1,0),C(0,)(3分)

(2)①過點(diǎn)E作EF⊥AB于F,
∵C(0,),
∴EF=,
∵B(1,0),
∴AF=1,
∴OF=OA-AF=3-1=2,
∴E(-2,-)(5分)
②四邊形AEBC是矩形.
理由:四邊形AEBC是平行四邊形,且∠ACB=90°(7分)

(3)存在.(8分)
D(-1,
作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′D與直線BC交于點(diǎn)P.
則點(diǎn)P是使△PAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn).(10分)
∵AO=3,
∴FO=3,
CO=,
∴A′F=2
∴求得A′(3,2
過A′、D的直線y=
過B、C的直線y=-
兩直線的交點(diǎn)P(-).(12分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,難度中上.
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①求E點(diǎn)坐標(biāo);
②試判斷四邊形AEBC的形狀,并說明理由;
(3)試探索:在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAD的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2006•岳陽(yáng))如圖拋物線y=,x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)把△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到四邊形AEBC:
①求E點(diǎn)坐標(biāo);
②試判斷四邊形AEBC的形狀,并說明理由;
(3)試探索:在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAD的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2006•岳陽(yáng))如圖拋物線y=,x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)把△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到四邊形AEBC:
①求E點(diǎn)坐標(biāo);
②試判斷四邊形AEBC的形狀,并說明理由;
(3)試探索:在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAD的周長(zhǎng)最?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2006•岳陽(yáng))如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)M.
(1)請(qǐng)判斷△DMF的形狀,并說明理由.
(2)設(shè)EB=x,△DMF的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.并寫出x的取值范圍.

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