Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．

（1）求直線BC與拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng) MN的值最大時(shí)，求△BMN的周長(zhǎng)．

（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=4S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4；（2）4+4；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，﹣2）．

【解析】試題（1）利用待定系數(shù)法及直線BC上的兩點(diǎn)列方程，從而得出一次函數(shù)的解析式；根據(jù)二次函數(shù)上面的兩點(diǎn)坐標(biāo)列出兩個(gè)方程，從而確定二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；

（2）根據(jù)M,N的位置關(guān)系，易得他們的橫坐標(biāo)相同，設(shè)出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），則N（x，﹣x+4），根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出MN的長(zhǎng)度為MN=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x，然后配方，求出MN的最大值；從而△BMN的周長(zhǎng)得解；

（3）先求出△ABN的面積為S2,=3，再根據(jù)S1=4S2得S1=12.根據(jù)平行四邊形的底邊AB=，得出平行四邊形的高線BD=,再求x粥上面的BE的長(zhǎng)度為3，得點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線PQ為y=﹣x+1，最后與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

將B（4，0），C（0，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，

得， ，

∴

所以直線BC的解析式為y=﹣x+4；

將B（4，0），C（0，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，

得， ，

∴

所以拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4；

（2）如圖1，

設(shè)M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），則N（x，﹣x+4），

∵M(jìn)N=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴當(dāng)x=2時(shí)，MN有最大值4；

∵M(jìn)N取得最大值時(shí)，x=2，

∴﹣x+4=﹣2+4=2，即N（2，2）．

x2﹣5x+4=4﹣5×2+4=﹣2，即M（2，﹣2），

∵B（4.0）

可得BN=2，BM=2

∴△BMN的周長(zhǎng)=4+2+2=4+4

（3）令y=0，解方程x2﹣5x+4=0，得x=1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

∴AB=4﹣1=3，

∴△ABN的面積S2=×3×2=3，

∴平行四邊形CBPQ的面積S1=4S2=12．

如圖2，

設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．

∵BC=4 ，

∴BCBD=12，

∴BD= ．

過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，連接CQ，則四邊形CBPQ為平行四邊形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD為等腰直角三角形，由勾股定理可得BE=BD=3，

∵B（4，0），

∴E（1，0），

設(shè)直線PQ的解析式為y=﹣x+t，

將E（1，0）代入，得﹣1+t=0，解得t=1

∴直線PQ的解析式為y=﹣x+1．

解方程組， ，

得，或，

∵P1（1，0）在x軸上，舍去．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，﹣2）．