Question

如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中A（-1，m），B（n，n）
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）在坐標(biāo)平面上找點(diǎn)C，使以A、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
①這樣的點(diǎn)C有幾個(gè)？
②能否將拋物線平移后經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)？若能，求出平移后經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的一條拋物線的解析式；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=的圖象過(guò)點(diǎn)A（-1，m）
∴
即m=1
同理：n=
解之，得n=0（舍）或n=2
∴A（-1，1），B（2，2）

（2）①由題意可知：這樣的C點(diǎn)有3個(gè)．
如圖：當(dāng)OA是對(duì)角線時(shí)，C是過(guò)O平行于AB的直線，以及過(guò)A平行于OB的直線的交點(diǎn)，
設(shè)直線OB的解析式是y=kx，則2=2k，解得：k=1，
設(shè)直線AC的解析式是：y=x+c，則-1+c=1，解得：c=2，直線的解析式是y=x+2，
設(shè)直線AB的解析式是：y=mx+n，則，解得：，即直線的解析式是：y=3x+4，
設(shè)直線OC的解析式是：y=3x，
解方程組，解得：，
則C的坐標(biāo)是（-3，-1）；
同理，當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí)，C的坐標(biāo)是（1，3）；
OB是對(duì)角線時(shí)，C的坐標(biāo)是（3，1）．
故：C₁（-3，-1），C₂（1，3），C₃（3，1）．
②能
當(dāng)平移后的拋物線經(jīng)過(guò)A、C₁兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，將B點(diǎn)向左平移3個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位．
使點(diǎn)B移到A點(diǎn)，這時(shí)A、C₁兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y+1=
即y=
附：另兩條平移后拋物線的解析式分別為：
i）經(jīng)過(guò)A、C₂兩點(diǎn)的拋物線的解析式為
ii）設(shè)經(jīng)過(guò)A、C₃兩點(diǎn)的拋物線的解析式為，OC₃可看作線段AB向右平移1個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位得到m，
則C₃（3，1）
依題意，得，
解得．
故經(jīng)過(guò)A、C₃兩點(diǎn)的拋物線的解析式為．
分析：（1）把A（-1，m）代入函數(shù)式而解得m的值，同理解得n值，從而得到A，B的坐標(biāo)；
（2）①由題意可知：這樣的C點(diǎn)有3個(gè)，
②能，分別考慮函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，從而得到函數(shù)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）把A（-1，m）代入函數(shù)式而解得；（2）①由題意可知點(diǎn)C有幾個(gè)，②分別考慮函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，從而得到函數(shù)方程．也從而確定能．本題有一定難度，在圖象上作好輔助線，考慮全面，而不至于漏解．