Question

（14分）如圖，已知拋物線與x軸交于A（-2，0）、B兩點，與y軸交于C點，其對稱軸為直線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）把線段AC沿x軸向右平移，設(shè)平移后A、C的對應(yīng)點分別為A′、C′，當(dāng)C′落在拋物線上時，求A′、C′的坐標(biāo)；

（3）除（2）中的點A′、C′外，在x軸和拋物線上是否還分別存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）A′（0，0），C′（2，4）；（3）當(dāng)點E為（，0），點F為（，－4）或點E為（，0），點F為（，－4）．

【解析】

試題分析：（1）由A點的坐標(biāo)和對稱軸，根據(jù)待定系數(shù)法交點拋物線的解析式；

（2）根據(jù)平移性質(zhì)及拋物線的對稱性，求出A′、C′的坐標(biāo)；

（3）以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，需要分兩種情況討論．

試題解析：（1）∵A（﹣2，0），對稱軸為直線x=1．∴，

解得：，∴拋物線的解析式為：；

（2）由拋物線可知C（0，4），∵拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)對稱性，∴C′（2，4），∴A′（0，0）；

(3) 存在，共有兩種情況：

①如圖，四邊形ACEF是平行四邊形，過點F作FD⊥x軸，∴AF=CE，∠AEC=∠EAF，∠ADF=∠AOC=90°，∴∠DAF=∠CEO，∴△ADF≌△EOC，∴DF=CO=4，AD=EO，∴點F的縱坐標(biāo)為－4，∵點F在拋物線的圖像上，即解得，，∴點F(，－4)，

∴DO=，∵AO=2，∴AD=EO=DO-AO=，∴點E（，0），

所以點E的坐標(biāo)為（，0），點F的坐標(biāo)為(，－4)；

②如圖，四邊形ACE′F′是平行四邊形，過點F′作F′H⊥x軸，∴AC=E′F′，∠CAO=∠F′E′H，∠AOC=∠F′HE′=90°，∴△AOC≌△E′HF′，∴HF′=CO=4，AO=E′H，得點F′的縱坐標(biāo)是－4，∵點F′在拋物線的圖像上，即，解得，，則點F′的坐標(biāo)為（，－4），∴EH=，E′H=AO=2，∴OE′=，∴點E的坐標(biāo)為（，0），所以點E的坐標(biāo)為（，0），點F的坐標(biāo)為（，－4）；

綜上可知，當(dāng)點E（，0），點F (，－4)或點E（，0），點F（，－4）時，以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．代數(shù)幾何綜合題．

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項式；
當(dāng)b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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