Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：設(shè)∠BAC=θ（0°<θ<90°）現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB、AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上，
活動(dòng)一：如圖甲所示，從點(diǎn)A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒，數(shù)學(xué)思考：   
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：（     ）（填“能”或“不能”）
（2）設(shè)AA₁= A₁A₂= A₂A₃=1.    
 ①θ=（     ）；  
 ②若記小棒A_2n-1A_2n的長(zhǎng)度為a_n（n 為正整數(shù)，如A₁A₂ =a，A₃A₄=a₂），
求此時(shí)a₂，a₃ 的值，并直按寫出a_n（用含n 的式子表示）                           
活動(dòng)二：如圖乙所示，從點(diǎn)A₁開始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A_lA₂為第1根小棒，
且A_lA₂=AA₁ ，數(shù)學(xué)思考：    
（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則θ₁ =（     ）；θ₂ =（     ）；θ₃ =（     ）；（用含θ的式子表示）
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍。

圖甲

Answer 1

解：（1）能    
（2）①22.5°
②∵AA₁= A_lA₂= A₂A₃= 1，A_lA₂⊥A₂A₃,    
∴A_lA₃=，AA₃=1+
又∵ A₂A₃⊥A₃A₄,
∴A_lA₂ // A₃A₄
同理A₃A₄// A₅A₆
∴∠A= ∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃= A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂= A₃A₄=AA₃=1+
a₃ =AA₃+ A₃A₅= a₂+A₃A₅
∵A₃A₅ =a₂ 
∴ a₃ =A₅A₆ = AA₅ = a₂+a₂ =（+1）²。