(2013•鳳陽(yáng)縣模擬)如圖所示,在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E,使得∠BAE=15°,連結(jié)AE,CE.延長(zhǎng)CE到F,連結(jié)BF,使得BC=BF.若AB=1,則下列結(jié)論:①AE=CE;②F到BC的距離為
2
2
;③BE+EC=EF;④S△AED=
1
4
+
2
8
;⑤S△EBF=
3
12
.其中正確的是
①③⑤
①③⑤
分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC,∠ABD=∠CBD=45,利用SAS證明△ABE≌△CBE,即可判斷①正確;過F作FH⊥BC于H,先求出∠FBH=30°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FH,即可判斷②錯(cuò)誤;在EF上取一點(diǎn)N,使BN=BE,由∠BEN=60°,得出△NBE為等邊三角形,再利用ASA證明△FBN≌△CBE,得出NF=EC,從而判斷③正確;過A作AM⊥BD交于M,根據(jù)勾股定理求出BD,解直角△ADM與直角△AEM,求出AM、DM與EM的值,根據(jù)三角形的面積公式求出S△AED=
1
2
DE×AM=
1
4
+
3
12
,即可判斷④錯(cuò)誤;根據(jù)S△EBF=S△FBC-S△EBC及S△CBE=S△ABE=S△ABM-S△AEM,求出S△EBF=
3
12
,進(jìn)而判斷⑤正確.
解答:解:①∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,
∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE,
∴AE=CE,
∴①正確;
②過F作FH⊥BC于H.
∵△ABE≌△CBE,
∴∠BAE=∠BCE=15°.
∵BF=BC=1,
∴∠BFC=∠FCB=15°,
∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°,
∴FH=
1
2
BF=
1
2

∴②錯(cuò)誤;
③在EF上取一點(diǎn)N,使BN=BE,
又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°,
∴△NBE為等邊三角形,
∴∠ENB=60°,
又∵∠NFB=15°,
∴∠NBF=45°,
又∵∠EBC=45°,
∴∠NBF=∠EBC,
又∵BF=BC,∠NFB=∠ECB=15°,
∴△FBN≌△CBE,
∴NF=EC,
故BE+EC=EN+NF=EF,
∴③正確;
④過A作AM⊥BD交于M.
在直角△ABM中,∵∠BAD=90°,AB=AD=1,
∴BD=
2

在直角△ADM中,∵∠AMD=90°,∠ADM=45°,AD=1,
∴DM=AM=
2
2
,
在直角△AEM中,∵∠AME=90°,∠AEM=60°,AM=
2
2
,
∴EM=
AM
3
=
6
6

∴S△AED=
1
2
DE×AM=
1
2
2
2
+
6
6
)×
2
2
=
1
4
+
3
12

∴④錯(cuò)誤;
⑤∵BD=
2
,AM=DM=
2
2
,EM=
6
6
,
∴BM=BD-DM=
2
-
2
2
=
2
2
,BM-EM=
2
2
-
6
6

∴S△ABE=S△ABM-S△AEM=
1
2
BM•AM-
1
2
EM•AM=
1
2
AM(BM-EM)=
1
2
×
2
2
×(
2
2
-
6
6
)=
1
4
-
3
12

∵△ABE≌△CBE,
∴S△ABE=S△CBE=
1
4
-
3
12

∴S△EBF=S△FBC-S△EBC=
1
2
×1×
1
2
-(
1
4
-
3
12
)=
3
12
,
∴⑤正確.
故答案為①③⑤.
點(diǎn)評(píng):本題是四邊形的綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,解直角三角形等知識(shí),綜合性較強(qiáng),有一定難度.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
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