Question

提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v（單位：千米/時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．
（l）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求車(chē)流速度v關(guān)于x的解析式；
（2）當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀(guān)測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí)，車(chē)流量=車(chē)流密度×車(chē)流速度）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/時(shí)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在20≤x≤200時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（2）先在0≤x≤20上，車(chē)流量函數(shù)為增函數(shù)，得最大值為v（20）=1200，然后在20≤x≤200上，車(chē)流量函數(shù)為二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值問(wèn)題解答．

解答：解：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v=60，
當(dāng)20＜x≤200時(shí)，設(shè)v=kx+b，
根據(jù)題意得，

200k+b=0 20k+b=60

，
解得

k=- 1 3 b= 200 3

，
所以，函數(shù)解析式為v=-

1

3

x+

200

3

，
故車(chē)流速度v關(guān)于x的解析式為v=

60(0≤x≤20) - 1 3 x+ 200 3 (20≤x≤200)

；

（2）依題并由（1）可得車(chē)流量v（x）=60x（0≤x＜20），
v（x）=x（-

1

3

x+

200

3

）=-

1

3

（x-100）²+

10000

3

，（20≤x≤200），
當(dāng)0≤x＜20時(shí)，v（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60×20=1200，
當(dāng)20≤x≤200時(shí)，當(dāng)x=100時(shí)，v（x）最大，最大值為=

10000

3

≈3333，
綜上所述，當(dāng)x=100時(shí)，最大值約為3333．
答：（1）函數(shù)v關(guān)于x的解析式為v=

60(0≤x≤20) - 1 3 x+ 200 3 (20≤x≤200)

；
（2）x=100時(shí)，最大值約為3333．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中等題．