Question

【題目】如圖1，⊙O的直徑AB=12，P是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），∠ABC=30°，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OP交⊙O于點(diǎn)D．
（1）如圖2，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求PD的長(zhǎng)；
（2）如圖3，當(dāng) = 時(shí)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE= AB，連接DE． ①求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
②求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖2，連接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB=90°，

∵⊙O的直徑AB=12，

∴OB=OD=6，

在Rt△POB中，∠ABC=30°，

∴OP=OBtan30°=6× =2 ，

在Rt△POD中，

PD= = =2

（2）解：①證明：如圖3，連接OD，交CB于點(diǎn)F，連接BD，

∵ = ，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴∠ABD=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE= AB，

∴OB=BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE=∠OFB=90°，

∴DE是⊙O的切線(xiàn)；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF=FB=OBcos30°=6× =3 ，

在Rt△POD中，OF=DF，

∴PF= DO=3（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，等于斜邊的一半），

∴CP=CF﹣PF=3 ﹣3．

【解析】（1）根據(jù)題意首先得出半徑長(zhǎng)，再利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出OP，PD的長(zhǎng)；（2）①首先得出△OBD是等邊三角形，進(jìn)而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．