Question

（2013•長春）探究：如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E．若AE=10，求四邊形ABCD的面積．
應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點E．若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為

152

．

Answer 1

分析：探究：過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，先判定四邊形AFCE為矩形，根據(jù)矩形的四個角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角邊”證明△AFB和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF，從而得到四邊形AFCE是正方形，然后根據(jù)正方形的面積公式列計算即可得解；
應(yīng)用：過點A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，根據(jù)同角的補角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=AE，再根據(jù)S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD列式計算即可得解．

解答：探究：如圖①，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，
∵AE⊥CD，∠BCD=90°，
∴四邊形AFCE為矩形，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，
∵∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∵在△AFB和△AED中，

∠FAB=∠EAD ∠F=∠AED=90° AB=AD

，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF=AE，
∴四邊形AFCE為正方形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AFCE}=AE²=10²=100；

應(yīng)用：如圖，過點A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，
則∠ADF+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，

∠ABC=∠ADF ∠AEB=∠F=90° AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF=AE=19，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=

1

2

BC•AE+

1

2

CD•AF
=

1

2

×10×19+

1

2

×6×19
=95+57
=152．
故答案為：152．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，（1）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵；（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形并把四邊形分成兩個三角形是解題的關(guān)鍵．