【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=45°,點D是AC的中點,連接BD,作AE⊥BC于E,交BD于點F,點G是BC的中點,連接FG,過點B作BH⊥AB交FG的延長線于H.
(1)若AB=3,求AF的長;
(2)求證;BH+2CE=AB.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)由條件得△ABE是等腰直角三角形,AE=3,可證△AEC≌△BEF,有EF=CE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知BD是AC的中垂線,連結CF,則AF=CF,設AF=x,EF=3-x,在Rt△EFC中,(3-x)2+(3-x)2=x2,解此方程即可;
(2)可先證△BGH≌△CGF,可得BH=CF=AF,由AE=BE=AF+EF,BE+CE=BC=AB,即可得證.
(1)連結CF,
∵AE⊥BC,∠ABC=45°,
∴AE=BE,AE=ABsin45°=,
∵AB=BC,點D是AC的中點,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AF=CF,∠CAE=∠DBC,
在△AEC和△BEF中,,
∴△AEC≌△BEF (AAS),
∴CE=EF,
設AF=x,EF=3-x,在Rt△EFC中,CE2+EF2=CF2,
∴(3-x)2+(3-x)2=x2,解得,x=,
(2)證明:∵BH⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠HBG=45°,
由(1)知∠FCE=45°,
∴∠FCE=∠HBG,
∵點G是BC的中點,
∴BG=CG,
在△BGH和△CGF中,,
∴△BGH≌△CGF(ASA),
∴BH=CF,
∴AB=BE+CE=AE+CE=AF+EF+CE,
∴AB=BH+CE+CE=BH+2CE.
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【題目】把幾個圖形拼成一個新的圖形,再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積,可以得到一個等式,也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.
例如,由圖1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)如圖2,將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形,試用不同的形式表示這個大正方形的面積,你能發(fā)現(xiàn)什么結論?請用等式表示出來.
(2)利用(1)中所得到的結論,解決下面的問題: 已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.
(3)如圖3,將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起,B,C,G三點在同一直線上,連接BD和BF.若這兩個正方形的邊長滿足a+b=10,ab=20,請求出陰影部分的面積.
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【題目】某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中固定成本每年均為3萬元,可變成本逐年增長,已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.4萬元,設可變成本平均每年增長的百分率為x.
(1)用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為萬元.
(2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為6.456萬元,求可變成本平均每年增長的百分率?
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【題目】如圖,△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于點D,CD=BD,BE平分∠ABC,點H是BC邊的中點,連接DH,交BE于點G.
(1)求證:△ADC≌△FDB;
(2)求證:CE=BF;
(3)連結CG,判斷△ECG的形狀,并說明理由.
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【題目】七年級320名學生參加安全知識競賽活動,小明隨機調(diào)查了部分學生的成績(分數(shù)為整數(shù)),繪制了頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整),請結合圖表信息回答下列問題:
成績(分) | 頻數(shù) |
71≤x<76 | 2 |
76≤x<81 | 8 |
81≤x<86 | 12 |
86≤x<91 | 10 |
91≤x<96 | 6 |
96≤x<101 | 2 |
(1)補全頻數(shù)直方圖;
(2)小明調(diào)查的學生人數(shù)是_______;頻率分布表的組距是_______;
(3)七年級參加本次競賽活動,分數(shù)在范圍內(nèi)的學生約有多少人.
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【題目】如圖,邊長為a的等邊△ACB中,E是對稱軸AD上一個動點,連EC,將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到MC,連DM,則在點E運動過程中,DM的最小值是。
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【題目】頂點都在格點上的三角形叫做格點三角形,如圖,在4×4的方格紙中,△ABC是格點三角形.
(1)在圖1中,以點C為對稱中心,作出一個與△ABC成中心對稱的格點三角形DEC,直接寫出AB與DE的位置關系;
(2)在圖2中,以AC所在的直線為對稱軸,作出一個與△ABC成和對稱的格點三角形AFC,直接寫出△BCF是什么形狀的特殊三角形.
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【題目】某商店銷售兩種商品,每件的售價分別為元、元,五一期間,該商店決定對這兩種商品進行促銷活動,如圖所示,若小紅打算到該商店購買件商品和件商品,根據(jù)以上信息,請:
(1)分別用含的代數(shù)式表示按照方案一和方案二所需的費用和;
(2)就的不同取值,請說明選擇那種方案購買更實惠(兩種優(yōu)惠方案不能同時享受)
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