Question

正方形邊長為4，、分別是、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持和垂直，設(shè)MB=x

（1）證明：；
（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，
求此時(shí)的值．

Answer 1

（1）證明過程見解析，（2）M運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)相似，x=2

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，
（2）M運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)相似
∵△ABM∽△AMN，
∴AB：BM=AM：MN，又MB=x，
AM=，
MN= =
：=
∴4：x= ： ，
（4-x）²（16+x²）=x²（16+x²），
16-8x=0，
解得x=2．即M運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)相似