Question

10．已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如圖1，若∠COF=28°，則∠BOE=56°；若∠COF=n°，則∠BOE=2n；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為∠BOE=2∠COF．
（2）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，（1）中∠BOE與∠COF的關(guān)系是否仍然成立？如成立，請說明理由．
（3）在圖3中，若∠COF=65°，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD+∠AOF=$\frac{1}{2}$（∠BOE-∠BOD）？若存在，請求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：∠FOE=90°-∠COF，由角平分線的性質(zhì)可求得∠AOE=2∠EOF，所以∠BOE=180°-∠AOE，即可求得答案．
（2）設(shè)∠COF=n°，故∠EOF=90°-n，由角平分線的性質(zhì)即可求得∠AOE=180°-2n°，從而求得∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．
（3）由（2）可知：∠BOE=2∠COF=130°，進(jìn)而求得∠AOE=180°-∠BOE=50°，由于OF平分∠AOE，所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=25°，分別代入2∠BOD+∠AOF=$\frac{1}{2}$（∠BOE-∠BOD）解得∠BOD即可

解答 解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=28°，
∴∠EOF=90°-∠COF=62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=124°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=56°
若∠COF=n°，
∴∠BOE=2n°，
∴∠BOE=2∠COF，
（2）設(shè)∠COF=n°，
∴∠EOF=90°-∠COF=90°-n°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=2n°=2∠COF，
故∠BOE與∠COF的關(guān)系是仍然成立．
（3）由（2）可知：∠BOE=2∠COF=130°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=25°
∵2∠BOD+∠AOF=$\frac{1}{2}$（∠BOE-∠BOD），
∴2∠BOD+25°=$\frac{1}{2}$（130°-∠BOD）
解得：∠BOD=16°
故答案為：（1）56°；2n°；∠BOE=2∠COF

點(diǎn)評 本題考查了角的有關(guān)計(jì)算和角平分線定義的應(yīng)用，能表示出各個(gè)角之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．