Question

如果關(guān)于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、-2＜a＜2
• B、

  3

  ＜a≤2
• C、-

  3

  ＜a≤2
• D、-

  3

  ≤a≤2

Answer 1

分析：根據(jù)方程x²-ax+a²-3=0至少有一個(gè)正根，則方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即△≥0，關(guān)于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一個(gè)正根?（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的正根，（2）當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的根，①若方程的兩個(gè)根中只有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根或零根，②若方程有兩個(gè)正根，結(jié)合二次方程的根的情況可求．

解答：解：∵△=a²-4（a²-3）=12-3a²
（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的正根時(shí)，△=0，此時(shí)a=±2，
若a=2，此時(shí)方程x²-2x+1=0的根x=1符合條件，
若a=-2，此時(shí)方程x²+2x+1=0的根x=-1不符舍去，
（2）當(dāng)方程有兩個(gè)根時(shí)，△＞0可得-2＜a＜2，
①若方程的兩個(gè)根中只有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根或零根，則有a²-3≤0，解可得-

3

≤a≤

3

，而a=-

3

時(shí)不合題意，舍去．
 所以-

3

＜a≤

3

符合條件，
②若方程有兩個(gè)正根，則

a＞0 a2-3＞0

，
解可得 a＞

3

，
綜上可得，-

3

＜a≤2．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用以及一元二次方程根的應(yīng)用，是一個(gè)綜合性的題目，也是一個(gè)難度中等的題目．