Question

8．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，點M，N分別在線段AB和CD上，有MN∥AD，且MN將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則MN=$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}}{2}$．

Answer 1

分析 過A作AG∥DC，交EF于H，BC于G，則EH=c-a，BG=B=b-a，如圖，設(shè)梯形AEFD的高為m，梯形ABCD的高為n，EF=c，根據(jù)已知條件得到△AEF∽△ABG，根據(jù)相似三角形的性得到$\frac{m}{n}=\frac{EH}{BG}=\frac{c-a}{b-a}$，求得m=$\frac{c-a}{b=a}n$，根據(jù)梯形的面積公式得到${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{a+b}{2}n$=$\frac{1}{4}（a+b）n$，推出S_梯形AEFD=${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：過A作AG∥DC，交EF于H，BC于G，則EH=c-a，BG=B=b-a，
如圖，設(shè)梯形AEFD的高為m，梯形ABCD的高為n，EF=c，
∵AD∥BC∥EF，
∴△AEF∽△ABG，
∴$\frac{m}{n}=\frac{EH}{BG}=\frac{c-a}{b-a}$，
∴m=$\frac{c-a}{b=a}n$，
∴S_梯形AEFD=$\frac{a+c}{2}•m$=$\frac{a+c}{2}•\frac{c-a}{b-a}n$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{b-a}$n，
${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{a+b}{2}n$=$\frac{1}{4}（a+b）n$，
∴S_梯形AEFD=${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$，
即$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{b-a}$n=$\frac{1}{4}（a+b）n$，
∴c²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}}{2}$．

點評 本題考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的周長輔助線是解題的關(guān)鍵．