Question

10．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB=3cm，將紙片沿對角線AC對折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE恰為等邊三角形，求：
（1）AD的長度；
（2）重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=DC=EC，∠D=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠BCA=∠B′CA，再利用平行四邊形的性質(zhì)證明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半可得CD長，進(jìn)而可得AB的長；
（2）利用三角函數(shù)值計(jì)算出AC，然后根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ACD，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）∵△CDE為等邊三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=60°，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠BCA=∠B′CA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，
∴∠EAC=∠BCA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AD=2CD=6cm；
（2）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3$\sqrt{3}$cm，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$×AC×CD=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$cm²．

點(diǎn)評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊平行且相等，直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半．