【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.過動點(diǎn)H(0,m)作平行于x軸的直線l,直線l與二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+2的圖象相交于點(diǎn)D,E.
(1)寫出點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若m>0,以DE為直徑作⊙Q,當(dāng)⊙Q與x軸相切時,求m的值;
(3)直線l上是否存在一點(diǎn)F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:當(dāng)y=0時,有 ,
解得:x1=4,x2=﹣1,
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)和(﹣1,0).
(2)
解:∵⊙Q與x軸相切,且與 交于D、E兩點(diǎn),
∴圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)處,
∵拋物線的對稱軸為 ,⊙Q的半徑為H點(diǎn)的縱坐標(biāo)m(m>0),
∴D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:( ﹣m,m),( +m,m)
∵E點(diǎn)在二次函數(shù) 的圖象上,
∴ ,
解得 或 (不合題意,舍去).
(3)
解:存在.
①如圖1,
當(dāng)∠ACF=90°,AC=FC時,過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G,
∴∠AOC=∠CGF=90°,
∵∠ACO+∠FCG=90°,∠GFC+∠FCG=90°,
∴∠ACO=∠CFG,
∴△ACO≌△CFG,
∴CG=AO=4,
∵CO=2,
∴m=OG=2+4=6;
反向延長FC,使得CF=CF′,此時△ACF′亦為等腰直角三角形,
易得yC﹣yF′=CG=4,
∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2.
②如圖2,
當(dāng)∠CAF=90°,AC=AF時,過點(diǎn)F作FP⊥x軸于P,
∵∠AOC=∠APF=90°,∠ACO+∠OAC=90°,∠FAP+∠OAC=90°,
∴∠ACO=∠FAP,
∴△ACO≌△∠FAP,
∴FP=AO=4,
∴m=FP=4;
反向延長FA,使得AF=AF′,此時△ACF’亦為等腰直角三角形,
易得yA﹣yF′=FP=4,
∴m=0﹣4=﹣4.
③如圖3,
當(dāng)∠AFC=90°,F(xiàn)A=FC時,則F點(diǎn)一定在AC的中垂線上,此時存在兩個點(diǎn)分別記為F,F(xiàn)′,
分別過F,F(xiàn)′兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線,分別交于E,G,D,H.
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°,
∴∠DFC=∠EFA,
∵∠CDF=∠AEF,CF=AF,
∴△CDF≌△AEF,
∴CD=AE,DF=EF,
∴四邊形OEFD為正方形,
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD,
∴4=2+2CD,
∴CD=1,
∴m=OC+CD=2+1=3.
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A,
∴∠HF′C=∠GF′A,
∵∠HF′C=∠GF′A,CF′=AF′,
∴△HF′C≌△GF′A,
∴HF′=GF′,CH=AG,
∴四邊形OHF′G為正方形,
∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2,
∴OH=1,
∴m=﹣1.
∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣ )2+ ,
∴y的最大值為 .
∵直線l與拋物線有兩個交點(diǎn),∴m< .
∴m可取值為:﹣4、﹣2、﹣1或3.
綜上所述,直線l上存一點(diǎn)F,使得△ACF是等腰直角三角形,m的值為﹣4、﹣2、﹣1或3.
【解析】(1)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為0,所以代入y=0,求解即可.(2)由圓和拋物線性質(zhì)易得圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)處,則Q的橫坐標(biāo)為 ,可推出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:( ﹣m,m),( +m,m).因為D、E都在拋物線上,代入一點(diǎn)即可得m.(3)使得△ACF是等腰直角三角形,重點(diǎn)的需要明白有幾種情形,分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底,則共有3種情形;而三種情形中F點(diǎn)在AC的左下或右上方又各存在2種情形,故共有6種情形.求解時.利用全等三角形知識易得m的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E為AB上一點(diǎn),AE=1,M為射線AD上一動點(diǎn),AM=a(a為大于0的常數(shù)),直線EM與直線CD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作MG⊥EM,交直線BC于點(diǎn)G.
(1)若M為邊AD中點(diǎn),求證△EFG是等腰三角形;
(2)若點(diǎn)G與點(diǎn)C重合,求線段MG的長;
(3)請用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S,并指出S的最小整數(shù)值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過點(diǎn)P(1,1),與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且tan∠ABO=3,那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)如圖(1),CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,BE⊥CD于點(diǎn)E,延長BE、CA相交于點(diǎn)F,請猜想線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖(2),點(diǎn)F在BC上,∠BFE=∠ACB,BE⊥FE于點(diǎn)E,AB與FE交于點(diǎn)D,F(xiàn)H∥AC交AB于H,延長FH、BE相交于點(diǎn)G,求證:BE=FD;
(3)如圖(3),點(diǎn)F在BC延長線上,∠BFE=∠ACB,BE⊥FE于點(diǎn)E,F(xiàn)E交BA延長線于點(diǎn)D,請你直接寫出線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,則下列結(jié)論:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB; ④BE+AC=AB.
一定成立的結(jié)論有____________(填序號) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,折疊長方形(四個角都是直角)的一邊AD使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處,已知AB=DC=8cm,AD=BC=10cm,求EC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F(xiàn)是DE的中點(diǎn),H是AE的中點(diǎn),G是BD的中點(diǎn).
(1)如圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長線上,通過觀察和測量,猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為______和位置關(guān)系為______;
(2)如圖2,若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時,其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請證明,不成立請說明理由;
(3)如圖3,將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎?直接寫出結(jié)論,不用證明.
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