【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB:y=x+b交y軸于點(diǎn)A(0,4),交x軸于點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)直線l垂直平分OB交AB于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn),且在點(diǎn)D的上方,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n.
①用含n的代數(shù)式表示△ABP的面積;
②當(dāng)S△ABP=8時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)中②的條件下,以PB為斜邊作等腰直角△PBC,求點(diǎn)C的坐標(biāo)。
【答案】(1)(4,0);(2)①S△ABP =2n4.;②(2,6);(3)(6,4)或(0,2)
【解析】
(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式可求得b=4,則直線的解析式為y=-x+4,令y=0可求得x=4,故此可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)①由題l垂直平分OB可知OE=BE=2,將x=2代入直線AB的解析式可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n),然后依據(jù)S△APB=S△APD+S△BPD可得到△APB的面積與n的函數(shù)關(guān)系式為S△APB=2n-4;
②由S△ABP=8得到關(guān)于n的方程可求得n的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo);
③如圖1所示,過點(diǎn)C作CM⊥l,垂足為M,再過點(diǎn)B作BN⊥CM于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(p,q),先證明△PCM≌△CBN,得到CM=BN,PM=CN,然后由CM=BN,PM=CN列出關(guān)于p、q的方程組可求得p、q的值;如圖2所示,同理可求得點(diǎn)C的坐標(biāo).
(1)∵把A(0,4)代入y=x+b得b=4
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+4.
令y=0得:x+4=0,解得:x=4
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0).
(2)①∵l垂直平分OB,
∴OE=BE=2.
∵將x=2代入y=x+4得:y=2+4=2.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n),
∴PD=n2.
∵S△APB=S△APD+S△BPD,
∴S△ABP= PDOE+PDBE= (n2)×2+ (n2)×2=2n4.
②∵S△ABP=8,
∴2n4=8,解得:n=6.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6).
(3)如圖1所示:過點(diǎn)C作CM⊥l,垂足為M,再過點(diǎn)B作BN⊥CM于點(diǎn)N.
設(shè)點(diǎn)C(p,q).
∵△PBC為等腰直角三角形,PB為斜邊,
∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.
∵CM⊥l,BN⊥CM,
∴∠PMC=∠BNC=90°,∠MPC+∠PCM=90°.
∴∠MPC=∠NCB.
在△PCM和△CBN中,
,
∴△PCM≌△CBN.
∴CM=BN,PM=CN.
∴ ,解得 .
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,4).
如圖2所示:過點(diǎn)C作CM⊥l,垂足為M,再過點(diǎn)B作BN⊥CM于點(diǎn)N.
設(shè)點(diǎn)C(p,q).
∵△PBC為等腰直角三角形,PB為斜邊,
∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.
∵CM⊥l,BN⊥CM,
∴∠PMC=∠BNC=90°,∠MPC+∠PCM=90°.
∴∠MPC=∠NCB.
,
∴△PCM≌△CBN.
∴CM=BN,PM=CN.
∴ ,解得 .
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2).
綜上所述點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,4)或(0,2).
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