Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（5，4），⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)．

（1）則點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是A（　　　　　　，　　　　　　），B（　　　　　　，　　　　　　），C（　　　　　　，　　　　　　）；

（2）設(shè)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=（x﹣5）²+k，它的頂點(diǎn)為F，求證：直線FA與⊙M相切；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）連接MC，則MC垂直于y軸，MA=MC=5，MD=4，

在Rt△AMD中，AD==3，

同理在Rt△BMD中，BD=3，

∴A（2,0），B（8,0），C（0,4）；

（2）把A（2,0）y=,

解得k=-,

∴y=，

∴F（5，-）.

連接MA，則MF=4+=，AF==，

∴，

∴MA⊥AF，

∴FA與⊙M相切；

（3）設(shè)P（x,4）,BC²=80.當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△CMP₁中, CP₁²=25+(x-4)²,∴25+(x-4)²=80，x=4，點(diǎn)P在x軸上方，故x=4+,所以（4+，4）；

當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△BDP₂中，CP₂=9+(x-4)², ∴9+(x-4)²=80，

x=4，點(diǎn)P在x軸上方，故x=4+,所以（4+，4）；

當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，P和M重合，P₃（5,4）.

用x表示CP₂，根據(jù)P₂B=BC列方程求解；當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，

綜上當(dāng)P（4+，4）、（4+，4）或（5,4）時(shí)△PBC是等腰三角形.

用x表示CP₁，根據(jù)P₁C=BC列方程求解；當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△BDP₂中用x表示CP₂，根據(jù)P₂B=BC列方程求解；當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，易知P和M重合.