Question

23、用兩個(gè)全等的正方形ABCD和CDFE拼成一個(gè)矩形ABEF，把一個(gè)足夠大的直角三角尺的直角頂點(diǎn)與這個(gè)矩形的邊AF的中點(diǎn)D重合，且將直角三角尺繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE，EF相交于點(diǎn)G，H時(shí)，如圖甲，通過(guò)觀察或測(cè)量BG與EH的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長(zhǎng)線，EF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，H時(shí)（如圖乙），你在圖甲中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)證CG=HE，來(lái)得出BG=FH的結(jié)論，那么關(guān)鍵是證明三角形DCG和DHE全等，已知的條件有DC=DF，一組直角，而通過(guò)同角的余角相等我們可得出∠GDC=∠HDF，由此可構(gòu)成兩三角形全等的條件，因此可得出GC=FH，進(jìn)而可得出BG=EH
（2）結(jié)論仍然成立，也是通過(guò)證明三角形FDH和三角形DCG全等來(lái)得出結(jié)論的，只不過(guò)在證∠DHF=∠DGC時(shí)，用的是等角的余角相等．得出全等后可得出FH=CG，已知EF=BC，那么就能得出BG=EH．

解答：解：（1）BG=EH．
∵四邊形ABCD和CDFE都是正方形，
∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，∴∠CDG=∠FDH，
∴△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，∴BG=EH．

（2）結(jié)論BG=EH仍然成立．
同理可證△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BG=EH．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)所求條件來(lái)確定出自己要求證的全等三角形是解題的關(guān)鍵．然后看短什么條件再證什么條件即可．