Question

（2011•錦州）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，⊙O經(jīng)過B、C、D三點，∠COD=90°，∠ACD=∠BCO+∠BDO．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）若∠BCO=15°，⊙O的半徑為2，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OB，首先根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角度數(shù)的一半求出∠CBD，即為∠OBC+∠OBD的度數(shù)，然后根據(jù)等邊對等角分別得到∠OBC=∠BCO，∠OBD=∠BDO兩對角的相等，等量代換可得到∠BCO+∠BDO的度數(shù)，由已知的∠ACD=∠BCO+∠BDO，即可求出∠ACD=45°，再由△OCD為等腰直角三角形可求出∠OCD=45°，從而得到∠OCA=90°，利用經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線可得證；
（2）由（1）中的∠BCO+∠BDD=45°，且∠BCO=15°，求出∠BDO=30°，然后在直角三角形ODE中，根據(jù)半徑的長及∠BDO的度數(shù)，利用30°的余弦值即可求出DE的長，最后根據(jù)垂徑定理可得BD=2DE求出結果．

解答：（1）證明：連接OB．
∵∠COD=90°，且∠COD與∠CBD是

CD

分別所對的圓心角和圓周角，
∴∠CBD=

1

2

∠COD=45°，
∵OB=OC，OB=OD，
∴∠OBC=∠BCO，∠OBD=∠BDO，
∵∠CBD=∠OBC+∠OBD=45°，（3分）
∴∠BCO+∠BDO=45°，
∵∠ACD=∠BCO+∠BDO，
∴∠ACD=45°，（5分）
在Rt△COD中，OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴∠OCA=90°，
∴直線AC是⊙O的切線；（6分）

（2）解：過O作OE⊥BD，垂足為E．
∴BD=2DE，
∵∠BCO+∠BDO=45°，∠BCO=15°，
∴∠BDO=30°，
在Rt△DOE中，
DE=OD•cos30°=2×

3

2

=

3

．
∴BD=2DE=2

3

．（10分）

點評：此題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，以及銳角三角函數(shù)的定義，是一道多知識的綜合題，要求學生把所學的知識融匯貫穿，靈活運用，注意利用轉化的數(shù)學思想．其中證明切線的方法一般有以下兩種：①有點連接證明半徑（或直徑）與所證的直線垂直；②無點作垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑．