Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣2x+8與x軸、y軸分別交于點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．

（1）求點A、C的坐標；
（2）將△ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，坐標平面內是否存在點P（除點B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，則﹣2x+8=0，解得x=4，
∴A（4，0），
令x=0，則y=8，
∴C（0，8）
（2）解：由折疊可知：CD=AD，
設AD=x，則CD=x，BD=8﹣x，
由題意得，（8﹣x）2+42=x2 ，
解得x=5，
此時AD=5，
∴D（4，5），
設直線CD為y=kx+8，
把D（4，5）代入得5=4k+8，解得k=﹣ ，
∴直線CD的解析式為y=﹣ x+8
（3）解：①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）
②當點P在第一象限時，如圖1，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD于點Q，
在Rt△ADP中，
AD=5，AP=BC=4，PD=BD=8﹣5=3，
由AD×PQ=DP×AP得：5PQ=3×4，
∴PQ= ，
∴xP=4+ = ，把x= 代入y=﹣ x+8得y= ，
此時P（ ， ）
③當點P在第二象限時，如圖2，

同理可求得：PQ= ，
在RT△PCQ中，CQ= = = ，
∴OQ=8﹣ = ，
此時P（﹣ ， ），
綜上，滿足條件的點P有三個，分別為：（0，0），（ ， ），（﹣ ， ）
【解析】（1）已知直線y=-2x+8與x軸、y軸分別交于點A、C，即可求得A和C的坐標。
（2）根據題意可知△ACD是等腰三角形，求出AD長即可求得D點坐標，最后即可求出CD的解析式。
（3）將點P在不同象限進行分類，根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的坐標。