(本小題10分)如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不含B點)上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.
(Ⅰ)求證:△AMB≌△ENB;
(Ⅱ)①當M點在何處時,AM+CM的值最;
②當M點在何處時,AM+BM+CM的值最小,并說明理由;
(Ⅲ)當AM+BM+CM的最小值為時,求正方形的邊長.
 
解:⑴∵△ABE是等邊三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠ABM=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………3分
⑵①當M點落在BD的中點時,AM+CM的值最小. ………………5分
②如圖,連接CE,當M點位于BD與CE的交點處時,

AM+BM+CM的值最小.                          ………………7分
理由如下:連接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN.
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根據(jù)“兩點之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長. …………8分
⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F,
∴∠EBF=90°-60°=30°.
設正方形的邊長為x,則BF=x,EF=.
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴(2+(x+x)2.
解得,x=(舍去負值).
∴正方形的邊長為.                         ………………10分          
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(2)點E在BC間運動時(如圖2),設BE=x,△ECF的面積為y。
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