【題目】在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),得到△ADE,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),點B的對應點為點D,點C的對應點為點E,連接BD,BE.
(1)如圖,當α=60°時,延長BE交AD于點F.
①求證:△ABD是等邊三角形;
②求證:BF⊥AD,AF=DF;
③請直接寫出BE的長;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,過點D作DG垂直于直線AB,垂足為點G,連接CE,當∠DAG=∠ACB,且線段DG與線段AE無公共點時,請直接寫出BE+CE的值.
溫馨提示:考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補充圖形,以便作答.
【答案】(1)①②詳見解析;③3﹣4;(2)13.
【解析】
試題分析:(1)①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AD,∠BAD=60°即可得證;②由BA=BD、EA=ED根據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證;③分別求出BF、EF的長即可得;(2)由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC,根據(jù)三線合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3,繼而知CE=2CH=8、BE=5,即可得答案.
試題解析:(1)①∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,
∴AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等邊三角形;
②由①得△ABD是等邊三角形,
∴AB=BD,
∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,
∴AC=AE,BC=DE,
又∵AC=BC,
∴EA=ED,
∴點B、E在AD的中垂線上,
∴BE是AD的中垂線,
∵點F在BE的延長線上,
∴BF⊥AD, AF=DF;
③由②知BF⊥AD,AF=DF,
∴AF=DF=3,
∵AE=AC=5,
∴EF=4,
∵在等邊三角形ABD中,BF=ABsin∠BAF=6×=3,
∴BE=BF﹣EF=3﹣4;
(2)如圖所示,
∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°,
又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,
∴∠BAE=∠ABC,
∵AC=BC=AE,
∴∠BAC=∠ABC,
∴∠BAE=∠BAC,
∴AB⊥CE,且CH=HE=CE,
∵AC=BC,
∴AH=BH=AB=3,
則CE=2CH=8,BE=5,
∴BE+CE=13.
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