【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E、G分別是邊AD、BC的中點,AF=AB.

(1)求證:EFAG;

(2)若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動,點G運動速度是點F運動速度的2倍,EFAG是否成立(只寫結(jié)果,不需說明理由)?

(3)正方形ABCD的邊長為4,P是正方形ABCD內(nèi)一點,當(dāng),求PAB周長的最小值.

【答案】(1)證明見解析;(2)成立;(3)

【解析】

試題分析:(1)由正方形的性質(zhì)得出AD=AB,EAF=ABG=90°,證出,得出AEF∽△BAG,由相似三角形的性質(zhì)得出AEF=BAG,再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理證出AOE=90°即可;

(2)證明AEF∽△BAG,得出AEF=BAG,再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;

(3)過O作MNAB,交AD于M,BC于N,則MNAD,MN=AB=4,由三角形面積關(guān)系得出點P在線段MN上,當(dāng)P為MN的中點時,PAB的周長最小,此時PA=PB,PM=MN=2,連接EG,則EGAB,EG=AB=4,證明AOF∽△GOE,得出 =,證出 =,得出AM=AE=,由勾股定理求出PA,即可得出答案.

試題解析:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,AD=AB,EAF=ABG=90°,點E、G分別是邊AD、BC的中點,AF=AB, =, =,,∴△AEF∽△BAG,∴∠AEF=BAG,∵∠BAG+EAO=90°,∴∠AEF+EAO=90°,∴∠AOE=90°,EFAG;

(2)解:成立;理由如下:

根據(jù)題意得: =, ==,又∵∠EAF=ABG,∴△AEF∽△BAG,∴∠AEF=BAG,∵∠BAG+EAO=90°,∴∠AEF+EAO=90°,∴∠AOE=90°,EFAG;

(3)解:過O作MNAB,交AD于M,BC于N,如圖所示:

則MNAD,MN=AB=4,P是正方形ABCD內(nèi)一點,當(dāng)SPAB=SOAB,點P在線段MN上,當(dāng)P為MN的中點時,PAB的周長最小,此時PA=PB,PM=MN=2,連接EG、PA、PB,則EGAB,EG=AB=4,∴△AOF∽△GOE,=,MNAB, =,AM=AE=×2=,由勾股定理得:PA= =,∴△PAB周長的最小值=2PA+AB=

練習(xí)冊系列答案
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A. 2.8084×102B. 2.8084×104C. 2.8084×106D. 2.8084×108

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B.2015
C.2014.5
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