【題目】如圖,點P是正方形ABCD的對角線BD上一點(P不與點BD重合),PEBC于點E,PFCD于點F,連接EF給出下列五個結論:APEF;APEF;僅有當DAP45°67.5°時,APD是等腰三角形;④∠PFEBAPPDEC.其中有正確有(  )個.

A. 2B. 3C. 4D. 5

【答案】D

【解析】

PPGAB于點G,根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)及題中的已知條件,證明AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF;④∠PFE=BAP;在此基礎上,根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質(zhì),在RtDPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=EC,得出⑤正確,即可得出結論.

PPGAB于點G,如圖所示:

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,

GP=EP,

GPB中,∠GBP=45°,

∴∠GPB=45°,

GB=GP,

同理:PE=BE,

AB=BC=GF

AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

AG=PF,

AGPFPE中,

∴△AGP≌△FPESAS),

AP=EF,①正確,∠PFE=GAP,

∴∠PFE=BAP,④正確;

延長APEF上于一點H,

∴∠PAG=PFH

∵∠APG=FPH,

∴∠PHF=PGA=90°

APEF,②正確,

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點,∠ADP=45°

∴當∠PAD=45°67.5°時,APD是等腰三角形,

除此之外,APD不是等腰三角形,故③正確.

GFBC,

∴∠DPF=DBC,

又∵∠DPF=DBC=45°,

∴∠PDF=DPF=45°

PF=EC,

∴在RtDPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

DP=EC,

PD=EC,⑤正確.

∴其中正確結論的序號是①②③④⑤,共有5個.

故選D

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