【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別是線段BM,CM的中點(diǎn).
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)AD:AB=時(shí),四邊形MENF是正方形(只寫結(jié)論,不需證明).

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB=CD,∠A=∠D=90°,

又∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),

∴AM=DM.

在△ABM和△DCM中,

,

∴△ABM≌△DCM(SAS)


(2)解:四邊形MENF是菱形.

證明如下:

∵E,F(xiàn),N分別是BM,CM,CB的中點(diǎn),

∴NE∥MF,NE=MF.

∴四邊形MENF是平行四邊形.

由(1),得BM=CM,∴ME=MF.

∴四邊形MENF是菱形


(3)2:1
【解析】(3)解:

當(dāng)AD:AB=2:1時(shí),四邊形MENF是正方形.理由:

∵M(jìn)為AD中點(diǎn),

∴AD=2AM.

∵AD:AB=2:1,

∴AM=AB.

∵∠A=90,

∴∠ABM=∠AMB=45°.

同理∠DMC=45°,

∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°.

∵四邊形MENF是菱形,

∴菱形MENF是正方形.

所以答案是:2:1.

【考點(diǎn)精析】利用菱形的判定方法和矩形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知任意一個(gè)四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對(duì)角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對(duì)角線若垂直,順理成章為菱形;矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.

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