Question

已知關于x的一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的兩實數根為x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設y = x₁ + x₂，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．

Answer 1

（1）將原方程整理為 x² + 2（m－1）x + m² = 0．
∵ 原方程有兩個實數根，
∴ △=" [" 2（m－1）²－4m²=－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x₁，x₂為x² + 2（m－1）x + m² = 0的兩根，
∴ y = x₁ + x₂ =－2m + 2，且m≤．
因而y隨m的增大而減小，故當m =時，取得極小值1．

（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，可求出m的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系可得出x₁+x₂的表達式，進而可得出y、m的函數關系式，根據函數的性質及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應的m值．