Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，作如下折疊操作．如圖1和圖2所示．在邊AB上取點(diǎn)M，在邊AD或DC上取點(diǎn)P，連接MP，將△AMP或四邊形AMPD沿著直線MP折疊到△A′MP或四邊形A′MPD′，點(diǎn)A落點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)D落點(diǎn)為點(diǎn)D′．
探究：

（1）如圖1，若AM=8cm，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)A′落在DC上，則∠MA′C的度數(shù)為
（2）如圖2，若AM=5cm，點(diǎn)P在DC上，點(diǎn)A′落在DC上．
①求證：△MA′P是等腰三角形；
②請(qǐng)直接寫出線段DP的長(zhǎng)是
（3）若點(diǎn)M固定為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P由A開始，沿A﹣D﹣C方向，在AD、DC邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，按操作要求折疊：
①求：當(dāng)MA′與線段DC有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍；
②直接寫出當(dāng)點(diǎn)A′到邊AB 的距離最大時(shí)，t的值是
發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)M在線段AB上移動(dòng)，點(diǎn)P仍為線段AD或DC上的任意點(diǎn)，隨著點(diǎn)M的位置不同，按操作要求折疊后，點(diǎn)A的落點(diǎn)A′的位置會(huì)出現(xiàn)以下三種不同的情況：不會(huì)落在線段DC上，只有一次落在線段DC上，會(huì)有兩次落在線段DC上．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A′有兩次落在線段DC上時(shí)，AM的取值范圍是

Answer 1

【答案】
（1）30°
（2）3cm
（3）5s；4＜AM≤5.8
【解析】解：（1）如圖1，過M作ME⊥CD于E，
則ME=AD=4，
由折疊得：AM=A′M=8，
∴ME= A′M，
∴∠MA′C=30°；
所以答案是：30°；（2）①如圖2，∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CPM=∠AMP，
由折疊得：∠AMP=∠A′MP，
∴∠CPM=∠A′MP，
∴A′M=A′P，
∴△MA′P是等腰三角形；②如圖2，由折疊得：A′M=AM=5，A′D′=AD=4，
由①得：A′M=A′P=5，
在Rt△A′PD′中，PD′= =3，
∴PD=PD′=3cm；
所以答案是：3cm；（3）①當(dāng)P在AD上，點(diǎn)A′落在DC上時(shí)，如圖3，
過M作ME⊥CD于E，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，AB=10，
∴AM=5，
由折疊得：A′M=AM=5，
∵M(jìn)N=4，
設(shè)AP=A′P=xcm，
同理得：A′E=3，
∴A′D=DE﹣A′E=5﹣3=2，
PD=4﹣x，
在Rt△A′DP中，x2=22+（4﹣x）2 ，
解得x=2.5，
此時(shí)，t=2.5s；
當(dāng)點(diǎn)P在DC上，A′也在DC上時(shí)，如圖2，
此時(shí)PD=3cm，
t=7s，
∴當(dāng)MA′與線段DC有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為2.5≤t≤7；②當(dāng)點(diǎn)A′到邊AB 的距離最大時(shí)，即A′M⊥AB時(shí)，如圖4，
由折疊得：A′M=AM=5，
此時(shí)t的值是5s；
所以答案是：5s；
發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A的落點(diǎn)A′，在以M為圓心，AM為半徑的圓上，
當(dāng)圓M與線段CD有唯一交點(diǎn)時(shí)，如圖5，此時(shí)AM=4cm；
當(dāng)圓M交線段CD于點(diǎn)C時(shí)，如圖6，
設(shè)AM=xcm，則CM=xcm，BM=（10﹣x）cm，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2=BM2+BC2 ，
∴x2=（10﹣x）2+42 ，
x=5.8，
∴點(diǎn)A′有兩次落在線段DC上時(shí)，AM的取值范圍是：4cm＜AM≤5.8cm．
所以答案是：4cm＜AM≤5.8cm．






【考點(diǎn)精析】掌握翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．