Question

【題目】在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于點B，C，與y軸交于點A，點A的坐標為(0，)，點D為拋物線的頂點．

(1)如圖1，求拋物線的頂點D的坐標；

(2)如圖2，點P是第一象限內對稱軸右側拋物線上一點，連接PB，過點D作DQ⊥BP于點H，交x軸于點Q，設點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標為n，求n與m的函數關系式；

(3)如圖3，在(2)的條件下，過點C作CE∥y軸交BP的延長線于點E，點F為CE的中點，連接FQ，若∠DQC+∠CQF＝135°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)D(1，2)；(2)n＝4﹣m；(3)P(，)．

【解析】

（1）將點A代入拋物線解析式可求出a，拋物線解析式和頂點D可求．

（2）分別過點D、P作x軸的垂線，可得到三角形相似，用點坐標轉換線段長度，列比例關系就可以得到m和n的函數關系．

（3）用點坐標轉換為線段長度，可以得到相關線段的長度相等，從而得到全等三角形及相似三角形，列比例關系就可以得到點P的坐標．

(1)將點A(0，)代入拋物線中，

﹣3a＝，

解得a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，

∵﹣＝1，解得y＝2，

∴D(1，2)．

(2)如圖1所示，過點D作DH垂直于x軸于點H，過點P作PN垂直于x軸于點N，

∴DH＝2，QH＝n﹣1，PN＝，BN＝m+1，

∵△BPN∽△DHQ，

∴，即，

解得n＝4﹣m．

(3)如圖2所示，

∵D(1，2)，Q(4﹣m，0)，C(3，0)B(﹣1，0)，

∴BN＝2，DN＝2，NQ＝3﹣m，

∵∠BNG＝∠DNQ，∠NDQ＝∠GBN，

∴△BGN≌△DNQ(ASA)，

∴GN＝NQ＝3﹣m，

連接GQ，

∴∠GQN＝45°，

∵∠DQC+∠FQC＝135°，

∴∠GQD＝∠FQC，

∵DG＝m﹣1，

過點P作y軸的平行線PM，過點D作x軸的平行線交MP于點M，連接MG，

∴MD＝m﹣1，

∴MD＝DG，

∴∠DGM＝45°，

∵∠NGQ＝45°，

∴∠MGQ＝90°，

∴∠MGP＝∠GQD＝∠FQC，

連接GF，GF∥BC，

∴∠GFQ＝∠FQC＝∠MGP，∠FGQ＝∠GMP＝45°，

∴△GMP∽△GQF，

∴，

∵,，

∴，

解得m1＝1(舍)，m2＝，

∴m＝，

∴P(，)．