Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸的另一個交點為A，且頂點M坐標(biāo)為（1，2），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點，與原拋物線交于點P，△CDP的面積為S，求S關(guān)于m的關(guān)系式；
（3）如圖②，以點A為圓心，以線段OA為半徑畫圓，交拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸于點B，連接AB，若將拋物線向右平移m（m＞0）個單位后，B點的對應(yīng)點為B′，A點的對應(yīng)點為A′點，且滿足四邊形BAA′B′為菱形，平移后的拋物線的對稱軸與菱形的對角線BA′交于點E，在x軸上是否存在一點F，使得以E、F、A′為頂點的三角形與△BAE相似？若存在，求出F點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過原點、A點、M點可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)將拋物線向右平移m個單位得到平移后的解析式，將兩個解析式組成一個方程組，解此方程組得P點的縱坐標(biāo)，即△CDP的高，而底邊CD的長據(jù)原拋物線可知，三角形面積可求；
（3）畫出圖形，根據(jù)圓和菱形的性質(zhì)得出△BAE是直角三角形，若△BAE∽△A′EF，則△A′EF也是直角三角形，故可求A′F，則F坐標(biāo)可求．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點可得，
c=0，
由頂點M坐標(biāo)為（1，2），可得A點坐標(biāo)為（2，0），
將他們的坐標(biāo)值分別代入解析式可得，

2=a+b 0=4a+2b

，
解得，

a=-2 b=4

，
故該拋物線的解析式為：y=-2x²+4x；

（2）現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線解析式為：
y=-2（x-m）²+4（x-m），
原拋物線與平移后的解析式交于P點，
則有

y=-2x2+4x y=-2(x-m)2+4(x-m)

，
解得，

x= m 2 + 1 y=- m2 2 +2

，
即P點坐標(biāo)為：（

m

2

+ 1，-

m2

2

+2），
那么△CDP的高為：-

m2

2

+2，而CD=2，
則S=

1

2

×2×（-

m2

2

+2），
化簡得，S=-

m2

2

+ 2；

（3）如圖，
四邊形BAA′B′為菱形，則有菱形的邊長就是圓的半徑為2，
B點的縱坐標(biāo)為：

22-12

=

3

，
那么tan∠BA′A=

3

3

，
故∠BA′A=∠A′BA=30°，
A′E=AE=

1

cos30°

=

2 3

3

，
則

AE

AB

=

3

3

正好是tan30°的值，
故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF，
則∠A′EF=90°，
A′F=

A′E

cos30°

=

4

3

，
則AF=2-

4

3

=

2

3

，F(xiàn)橫坐標(biāo)為：2+

2

3

=

8

3

，
故在x軸上存在一點F，F(xiàn)的坐標(biāo)為：（

8

3

，0）．

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合運用，其中涉及圓的性質(zhì)和三角函數(shù)的運用，難度較大，計算較為復(fù)雜．