對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下定義:若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B,使得∠APB=60°,則稱P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D(,),E(0,-2),F(xiàn)(,0)

(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),

①在點(diǎn)D,E,F(xiàn)中,⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是       ;

②過(guò)點(diǎn)F作直線交y軸正半軸于點(diǎn)G,使∠GFO=30°,若直線上的點(diǎn)P(m,n)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求m的取值范圍;

(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍。

 

【答案】

(1)①D,E②0≤m≤(2)r≥1

【解析】解:(1)①D,E。

②由題意可知,若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn),需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°。

由圖2可知∠APB=60°,則∠CPB=30°,

連接BC,則,

∴若P點(diǎn)為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn),則需點(diǎn)P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r。

由(1),考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn),

如圖3,

點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP=2×1=2,

過(guò)點(diǎn)O作x軸的垂線OH,垂足為H,

∴∠OGF=60°。

∴OH=OGsin60°=,

∴∠OPH=60°。可得點(diǎn)P1與點(diǎn)G重合。

過(guò)點(diǎn)P2作P2M⊥x軸于點(diǎn)M,可得∠P2OM=30°,

∴OM=OP2cos30°=。

∴若點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),則P點(diǎn)必在線段P1P2上。

∴0≤m≤。

(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),欲使這個(gè)圓的半徑最小,則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn)。

考慮臨界情況,如圖4,

即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí),則KF=2KN=EF=2,此時(shí),r=1。

∴若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥1。

(1)①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義,得出E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),進(jìn)而得出F、D,與⊙O的關(guān)系:

如圖1所示,過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線設(shè)切點(diǎn)為R,

∵⊙O的半徑為1,∴RO=1。

∵EO=2,∴∠OER=30°。

根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出⊙O的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn),使得組成的角等于30°。

∴E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。

∵D(,),E(0,-2),F(xiàn)(2,0),

∴OF>EO,DO<EO。

∴D點(diǎn)一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),而在⊙O上不可能找到兩點(diǎn)使得組成的角度等于60°。故在點(diǎn)D、E、F中,⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D,E。

②若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn),需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°,進(jìn)而得出PC的長(zhǎng),進(jìn)而得出點(diǎn)P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r,再考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn),進(jìn)而得出m的取值范圍。

(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),欲使這個(gè)圓的半徑最小,則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn);再考慮臨界情況,即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí),則KF=2KN=EF=2,即可得出圓的半徑r的取值范圍。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)設(shè)P0(x0,y0)是一定點(diǎn),Q(x,y)是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn),我們把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離.試求點(diǎn)M(2,1)到直線y=x+2的直角距離.

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已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(4,0),B(3,3),C(m,n),D(m+4,n)是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).根據(jù)上述定義,解答下列問(wèn)題:
(1)點(diǎn)A到線段OB的距離d(A→OB)=
2
2
2
2
;
(2)已知點(diǎn)G到線段OB的距離d(G→OB)=
5
,且點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1,則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為
1-
10
或1+
10
1-
10
或1+
10

(3)當(dāng)m的值變化時(shí),點(diǎn)A到動(dòng)線段CD的距離d (A→CD)始終為2,線段CD的中點(diǎn)為M.
①在圖(2)中畫(huà)出點(diǎn)M隨線段CD運(yùn)動(dòng)所圍成的圖形并求出該圖形的面積.
②點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2),m>0,n>0,作MH⊥x軸,垂足為H.是否存在m的值,使得以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOE相似?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1
2
,
1
2
),E(0,-2),F(xiàn)(2
3
,0).
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),
①在點(diǎn)D、E、F中,⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是
D,E
D,E

②過(guò)點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G,使∠GFO=30°,若直線l上的點(diǎn)P(m,n)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求m的取值范圍;
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請(qǐng)根據(jù)根據(jù)以上閱讀材料,解答下列問(wèn)題:
(1)計(jì)算M(-2,7),N(-3,-5)的直角距離d(M,N)=
13
13

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足d(O,P)=1,則x與y之間滿足的關(guān)系式為
|x|+|y|=1
|x|+|y|=1

(3)設(shè)P0(x0,y0)是一定點(diǎn),Q(x,y)是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn),我們把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離,試求點(diǎn)M(4,2)到直線y=x+2的直角距離.

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