Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰三角形AOB的底邊OB=8，腰AO=AB=5．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是

（4，3）

，點(diǎn)B的坐標(biāo)是

（8，0）

；
（2）求直線AB的解析式；
（3）設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)是點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）在y軸正半軸上是否存在點(diǎn)P，使△ADP是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A作AQ垂直于x軸，可得出Q為OB中點(diǎn)，求出AQ與OQ的長，確定出A坐標(biāo)，由OB的長求出B坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線AB解析式；
（3）對(duì)于直線AB解析式，令x=0求出y的值，即可確定出D坐標(biāo)；
（4）存在，如圖所示，分三種情況考慮：當(dāng)DA=DP₁，AD=DP₃，DP₂=AP₂，分別求出坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過A作AQ⊥x軸，由△OAB為等腰三角形，得到Q為OB中點(diǎn)，
∵OB=8，
∴OQ=BQ=

1

2

OB=4，
∵AO=5，
∴根據(jù)勾股定理得：AQ=3，
∴A（4，3），B（8，0）；

（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
將A與B坐標(biāo)代入得：

4k+b=3 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直線AB解析式為y=-

3

4

x+6；

（3）令x=0，得到y(tǒng)=6，即D（0，6）；

（4）如圖所示：當(dāng)DA=DP₁=

(4-0)2+(3-6)2

=5時(shí)，由OD-P₁D=6-5=1，此時(shí)P₁（0，1）；
當(dāng)DP₂=AP₂時(shí)，P₂為AD的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)，
∵直線AD斜率為-

3

4

，∴直線P₂E斜率為

4

3

，
∵E為AD中點(diǎn)，∴E（2，

9

2

），
此時(shí)直線P₂E解析式為y-

9

2

=

4

3

（x-2），
令x=0，得到y(tǒng)=

11

6

，此時(shí)P₂（0，

11

6

）；
當(dāng)AD=DP₃=5時(shí)，OP₃=OD+DP₃=6+5=11，此時(shí)P₃（0，11），
綜上，P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，

11

6

）或（0，11）．
故答案為：（1）（4，3）；（8，0）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第二問的關(guān)鍵．