【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C,D在⊙O上,且點(diǎn)C是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn) C作AD的垂線 EF交直線 AD于點(diǎn) E.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接BC,若AB=5,BC=3,求線段AE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
(1)連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定得到OC∥AE,得到OC⊥EF,根據(jù)切線的判定定理證明;
(2)根據(jù)勾股定理求出AC,證明△AEC∽△ACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,計(jì)算即可.
(1)證明:連接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠BAC,
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn),
∴∠EAC=∠BAC,
∴∠EAC=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵AE⊥EF,
∴OC⊥EF,即EF是⊙O的切線;
(2)解:∵AB為⊙O的直徑,
∴∠BCA=90°,
∴AC==4,
∵∠EAC=∠BAC,∠AEC=∠ACB=90°,
∴△AEC∽△ACB,
∴,
∴AE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,需說(shuō)明△ADC≌△AEB,可供添加的條件如下:①∠B=∠C,②AD=AE,③∠ADC=∠AEB,④DC=BE,選擇其中一個(gè)能使△ADC≌△AEB,則成立的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l//AB,P是l上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對(duì)于下列各值:
①線段MN的長(zhǎng);
②△PAB的周長(zhǎng);
③△PMN的面積;
④直線MN,AB之間的距離;
⑤∠APB的大小.
其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn)在上,連接,將沿直線翻折后,點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處若,,則點(diǎn)到的距離是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,,點(diǎn)是上一點(diǎn).
(1)如圖,平分.求證:;
(2)如圖,點(diǎn)在線段上,且,,求證:.
(3)如圖,,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)作交于,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣2x+8的圖象與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)C作CB⊥y軸,垂足為點(diǎn)C,兩條垂線相交于點(diǎn)B.
(1)線段AB,BC,AC的長(zhǎng)分別為AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折疊圖1中的△ABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再將折疊后的圖形展開(kāi),折痕DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CD,如圖2.
請(qǐng)從下列A、B兩題中任選一題作答,我選擇 題.
A:①求線段AD的長(zhǎng);
②在y軸上,是否存在點(diǎn)P,使得△APD為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
B:①求線段DE的長(zhǎng);
②在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外),使得以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AB于點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:DE⊥AB;
(2)若tan∠BDE=, CF=3,求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(問(wèn)題提出)
求證:如果一個(gè)定圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直,那么這個(gè)四邊形每組對(duì)邊的平方和是一個(gè)定值.
(從特殊入手)
我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD.請(qǐng)你在圖①中補(bǔ)全特殊位置時(shí)的圖形,并借助于所畫(huà)圖形探究問(wèn)題的結(jié)論.
(問(wèn)題解決)
已知:如圖②,定圓⊙O的半徑是R,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, AC⊥BD.
求證: .
證明:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線,直線分別與,相交于點(diǎn)、,小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點(diǎn)為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn),交于點(diǎn)②分別以,為圓心,以大于,長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在內(nèi)交于點(diǎn);③作射線交于點(diǎn),若,則____________.
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