Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y=﹣x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1．

（1）求a和b的值；

（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PBC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；

（3）P為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接AC，當(dāng)∠BCP=∠ACO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) a=﹣1，b=2；(2) S△PBC =﹣t2+t（0＜t＜3）；(4)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣5）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）由直線(xiàn)解析式可求得B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸，可求得a、b；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，作CF⊥PD于點(diǎn)F，可用t表示出PD的長(zhǎng)，則可示得S與t的關(guān)系式；（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CP1，利用面積相等可求得AK、CK的比，再利用勾股定理可求得K點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得直線(xiàn)CK解析式，結(jié)合P1在拋物線(xiàn)上可求得其坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BM∥y軸，交CP2延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，可證明△CBK≌△CBM，則可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，可求得直線(xiàn)CM解析式，同理可求得P2點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵直線(xiàn)y=﹣x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，

∴B（3，0），C（0，3），

∴9a+3b+3=0，

∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，

∴=1，

∴a=﹣1，b=2；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，作CF⊥PD于點(diǎn)F，

∵P（t，﹣t2+2t+3），

∴D（t，﹣t+3），

∵點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方，

∴PD=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S△PBC=S△PCD+S△PBD=PDCF+PDBE=PDOB=×3（﹣t2+3t）=﹣t2+t（0＜t＜3）；

（3）①如圖2，當(dāng)∠BCP1=∠ACO時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CP1，

∵OA=1，OC=3，

∴AC= ，

∵∠BCP1=∠ACO，

∴∠ACH=45°，

∴AH= ，

∵S△ACK=AKOC=CKAH，

∴ ，

設(shè)K=π，CK=3m，OK=m﹣1，

在Rt△COK中，OC2+OK2=CK2

∴32+（m﹣1）2=（3m）2，解得m= ，

∴K（ ，0），

∴直線(xiàn)CK解析式為y=﹣2x+3，

∴P1（n，﹣2n+3）

∵P1在拋物線(xiàn)y=﹣x2+2x+3上，

∴P1（4，﹣5）；

②如圖2，∠BCP2=∠ACO時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BM∥y軸，交CP2延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，

在△CBK和△CBM中

∴△CBK≌△CBM（ASA），

∴BK=BM=，

∴M（3，），

∴直線(xiàn)CM的解析式為y=﹣x+3，

∴P2（m，﹣m+3）

∵P2在拋物線(xiàn)上，

∴P2（，），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣5）或（，）．