如圖①,在平面直角坐標系中,點P(0,m2)(m>0)在y軸正半軸上,過點P作平行于x軸的直線,分別交拋物線C1于點A、B,交拋物線C2于點C、D.原點O關(guān)于直線AB的對稱點為點Q,分別連接OA,OB,QC和QD.

【猜想與證明】

填表:

m

1

2

3

 

 

 

由上表猜想:對任意m(m>0)均有=    .請證明你的猜想.

【探究與應(yīng)用】

(1)利用上面的結(jié)論,可得△AOB與△CQD面積比為    ;

(2)當△AOB和△CQD中有一個是等腰直角三角形時,求△CQD與△AOB面積之差;

【聯(lián)想與拓展】

如圖②過點A作y軸的平行線交拋物線C2于點E,過點D作y軸的平行線交拋物線C1于點F.在y軸上任取一點M,連接MA、ME、MD和MF,則△MAE與△MDF面積的比值為    

 

 

【答案】

猜想與證明:

填表為:

m

1

2

3

。理由見解析

探究與運用:

(1)。

(2)27。

聯(lián)想與拓展

。

【解析】

試題分析:猜想與證明:

當m=1時,1=x2,1=x2,∴x=±2,x=±3!郃B=4,CD=6!

當m=2時,4=x2,4=x2,∴x=±4,x=±6!郃B=8,CD=12。∴。

當m=3時,9=x2,9=x2,∴x=±6,x=±9!郃B=12,CD=18。∴。

探究與證明:

(1)由條件可以得出△AOB與△CQD高相等,就可以得出面積之比等于底之比而得出結(jié)論:

(2)分兩種情況討論,當△AOB為等腰直角三角形時,可以求出m的值就可以求出△AOB的面積,從而求出△CQD的面積,就可以求出其差,當△CQD為等腰直角三角形時,可以求出m的值就可以求出△CDQ的面積,進而可以求出結(jié)論。

解:猜想與證明:

填表為:

m

1

2

3

對任意m(m>0)均有。證明如下:

將y=m2(m>0)代入,得x=±2m,

∴A(﹣2m,m2),B(2m,m2)!郃B=4m。

將y=m2(m>0)代入,得x=±3m,

∴C(﹣3m,m2),D(3m,m2)。∴CD=6m。

。

∴對任意m(m>0)均有。

探究與運用:

(1)∵O、Q關(guān)于直線CD對稱,∴PQ=OP。

∵CD∥x軸,∴∠DPQ=∠DPO=90°。∴△AOB與△CQD的高相等。

,∴AB=CD。

∵SAOB=AB•PO,SCQD=CD•PQ,∴

(2)當△AOB為等腰直角三角形時,如圖,

∴PO=PB=m2,AB=2OP。

∴m2=m4。∴4m2=m4,解得m1=0,m2=﹣2,m3=2。

∵m>0,∴m=2。

∴OP=4,AB=8,PD=6,CD=12。

∴SAOB==16,SCQD==24。

∴SCQD﹣SAOB=24﹣16=8。

當△CQD是等腰直角三角形時,如圖,

∴PQ=PO=PD=m2,CD=2QP。

∴m2=m4。∴9m2=m4,∴m1=0,m2=﹣3,m3=3。

∵m>0,∴m=3。

∴OP=6,AB=12,PQ=9,CD=18。

∴SAOB==54,SCQD==81。

∴SCQD﹣SAOB=81﹣54=27。

聯(lián)想與拓展:

由猜想與證明可以得知A(﹣2m,m2),D(3m,m2),

∵AE∥y軸,DF∥y軸,∴E點的橫坐標為﹣2m,F(xiàn)點的橫坐標為3m。

∴y=(﹣2m)2,y=(3m)2,∴y=m2,y=m2。∴E(﹣2m, m2),F(xiàn)(3m, m2)。

∴AE=m2m2=m2,DF=m2﹣m2=m2

∴SAEM=×m2•2m=m3,SDFM=×m2•3m=m3!

 

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23、在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說在平面上建立了一個平面直角坐標系,這是由法國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點的位置,例如,要確定點M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點M的橫坐標,y叫做點M的縱坐標,有序數(shù)對(x,y)叫做M點的坐標,如圖甲,點M的坐標記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖乙,請把△ABC向右平移3個單位,在平面直角坐標系中畫出平移后的△A′B′C′;
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2
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(1)點A的坐標為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)
;
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(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標,n作為橫坐標,在如圖所示的平面直角坐標系中找出相應(yīng)各點.

(3)請你猜一猜上述各點會在某一個函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當n=10時,s的值.

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如圖1,當點為旋轉(zhuǎn)中心時,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點再繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,這時點與點重合.

如圖2,當點、為旋轉(zhuǎn)中心時,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點,小明發(fā)現(xiàn)P、兩點關(guān)于點中心對稱.

(1)請在圖2中畫出點, 小明在證明P、兩點關(guān)于點中心對稱時,除了說明P、三點共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,當、為旋轉(zhuǎn)中心時,點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點;點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點;點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點;點繞著點旋轉(zhuǎn)180°得到點. 繼續(xù)如此操作若干次得到點,則點的坐標為(),點的坐為.

 

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