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【題目】已知關于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求證:無論m取何值,原方程總有兩個不相等的實數根:
(2)若x1 , x2是原方程的兩根,且|x1﹣x2|=2 ,求m的值,并求出此時方程的兩根.

【答案】
(1)證明:∵△=(m+3)2﹣4(m+1)

=(m+1)2+4,

∵無論m取何值,(m+1)2+4恒大于0,

∴原方程總有兩個不相等的實數根


(2)∵x1,x2是原方程的兩根,

∴x1+x2=﹣(m+3),x1x2=m+1,

∵|x1﹣x2|=2 ∴(x1﹣x22=(2 2,

∴(x1+x22﹣4x1x2=8,

∴[﹣(m+3)]2﹣4(m+1)=8∴m2+2m﹣3=0,

解得:m1=﹣3,m2=1.

當m=﹣3時,原方程化為:x2﹣2=0,

解得:x1= ,x2=﹣ ,

當m=1時,原方程化為:x2+4x+2=0,

解得:x1=﹣2+ ,x2=﹣2﹣


【解析】(1)根據關于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號來判定該方程的根的情況;(2)根據根與系數的關系求得x1+x2=﹣(m+3),x1x2=m+1;然后由已知條件“|x1﹣x2|=2 ”可以求得(x1﹣x22=(x1+x22﹣4x1x2=8,從而列出關于m的方程,通過解該方程即可求得m的值;最后將m值代入原方程并解方程.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識,掌握根的判別式△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:1、當△>0時,一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時,一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時,一元二次方程沒有實數根,以及對根與系數的關系的理解,了解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數;兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.

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