【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax24ax6a0)與x軸交于A,B兩點,且OB3OA,與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,對稱軸與x軸交于點E

1)求該拋物線的解析式,并直接寫出頂點D的坐標(biāo);

2)如圖2,直線y+n與拋物線交于G,H兩點,直線AH,AG分別交y軸負(fù)半軸于MN兩點,求OM+ON的值;

3)如圖1,點P在線段DE上,作等腰BPQ,使得PBPQ,且點Q落在直線CD上,若滿足條件的點Q有且只有一個,求點P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=(x﹣2)2﹣8,D(2,﹣8)(2)9;(3)P(2,8﹣4

【解析】

1)由OB=3OA可設(shè)A-t,0),B3t,0),代入拋物線解析式即得到關(guān)于a、t的二元方程,解方程求出a即求得拋物線解析式,配方即得到頂點D的坐標(biāo).

2)由(1)求得t=2可知點A-20),設(shè)Gx1,x12-2x1-6),Hx2,x22-2x2-6),把直線y=x+n與拋物線解析式聯(lián)立方程組,消去y后整理得關(guān)于x的一元二次方程,x1、x2即為方程的解,根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2=3.設(shè)直線AG解析式為y=kx+b,把點A、G坐標(biāo)代入求出b的值即為點N縱坐標(biāo),進(jìn)而得到用x1表示的ON的值,同理可求得用x2表示的OM的值,相加再把x1+x2代入即求得OM+ON的值.

3)以點P為圓心,PB長為半徑的⊙P,由于滿足PB=PQ(即點Q在⊙P上)且點Q在直線CD上的點Q有且只有一個,即⊙P與直線CD只有一個公共點,所以直線CD與⊙P相切于點Q.由(1)得點C、D坐標(biāo)可知直線CDDE夾角為45°PDQ為等腰直角三角形,PD=

2

PQ=

2

PB.設(shè)點P縱坐標(biāo)為p,用p表示PBPD的長并列得方程即可求p的值.由于點P在線段DE上,故p的值為負(fù)數(shù),舍去正數(shù)解.

1)∵拋物線yax24ax6x軸交于A,B兩點,OB3OA

∴設(shè)A(﹣t0),B3t0)(t0

解得:

∴拋物線解析式為yx22x6x228

∴頂點D的坐標(biāo)為(2,﹣8

2)∵t2

A(﹣2,0

設(shè)拋物線上的點Gx1x122x16),Hx2x222x26

∵直線y+n與拋物線交于G,H兩點

整理得:x23x122n0

x1+x23

設(shè)直線AG解析式為ykx+b,即N0b)(b0

×x1得:﹣2kx1+bx10

×2得:2kx1+2bx124x112

+④得:(x1+2b=(x1+2)(x16

∵點GA不重合,即x1+2≠0

bx16ON=﹣b6x1

同理可得:OM6x2

OM+ON6x2+6x112﹣(x1+x2)=1239

3)如圖,過點CCFDE于點F,以點P為圓心、PB為半徑作圓

PBPQ

∴點Q在⊙P

∵有且只有一個點Q在⊙P上又在直線CD

∴⊙P與直線CD相切于點Q

PQCD

由(1)得:B60),C0,﹣6),D2,﹣8

CF2DF=﹣6﹣(﹣8)=2,即CFDF

∴∠CDF45°

∴△DPQ為等腰直角三角形

PDPQ

PD22PQ22PB2

設(shè)P2,p)(﹣8≤p≤0

PDp+8,PB2=(622+p216+p2

∴(p+8216+p2

解得:p184,p28+4(舍去)

∴點P坐標(biāo)為(2,84

練習(xí)冊系列答案
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1)用樹狀圖或列表的方法,求甲獲勝的概率;

2)這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎?請判斷并說明理由

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1)從中隨機(jī)抽取一張,求剛好抽到“共享服務(wù)”的概率.

2)從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再從中隨機(jī)抽取一張,請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率(這四張卡片分別用它們的編號A,BC,D表示)

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蘋果總質(zhì)量n(kg)

100

200

300

400

500

1000

損壞蘋果質(zhì)量m(kg)

10.50

19.42

30.63

39.24

49.54

101.10

蘋果損壞的頻率

(結(jié)果保留小數(shù)點后三位)

0.105

0.097

0.102

0.098

0.099

0.101

估計這批蘋果損壞的概率為_____(結(jié)果保留小數(shù)點后一位),損壞的蘋果約有______kg.

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