【題目】在學(xué)習(xí)三角形中位線的性質(zhì)時,小亮對課本給出的解決辦法進(jìn)行了認(rèn)真思考: 請你利用小亮的發(fā)現(xiàn)解決下列問題:
(1)如圖1,AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于E,且AE=EF,求證:AC=BF. 請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程:
(2)解決問題:如圖2,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線,過點(diǎn)D、E作DF∥EG,分別交BC于F、G,過點(diǎn)A作MN∥BC,分別與FE、GE的延長線交于M、N,則四邊形MFGN周長的最小值是 .
【答案】
(1)證明:如圖1,延長AD至點(diǎn)M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中, ,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
∴BF=AC
(2)10 +8
【解析】(2)解:如圖2,
∵M(jìn)N∥BC,F(xiàn)M∥GN,
∴四邊形MFGN是平行四邊形,
∴MF=NG,MN=FG,
∵DE是△ABC的中位線,
∴DE= BC=4,DE∥BC,
∴MN=FG= BC=4,
∴四邊形MFGN周長=2(MF+FG)=2MF+8,
∴MF⊥BC時,MF最短,
即:四邊形MFGN的周長最小,
過點(diǎn)A作AH⊥BC于H,
∴FM=AH
在Rt△ABH中,∠B=45°,AB=10,
∴AH= =5 ,
∴四邊形MFGN的周長最小為2MF+8=10 +8.
所以答案是:10 +8.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用三角形中位線定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+1與直線y=﹣ax+c相交于坐標(biāo)軸上點(diǎn)A(﹣3,0),C(0,1)兩點(diǎn).
(1)直線的表達(dá)式為;拋物線的表達(dá)式為 .
(2)D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn),作DE垂直x軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,求線段DF長度的最大值,并求此時點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)P為拋物線上一動點(diǎn),且P在第四象限內(nèi),過點(diǎn)P作PN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正比例函數(shù)y= x的圖像經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6,反比例函數(shù)y= 的圖像也經(jīng)過點(diǎn)A,第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在這個反比例函數(shù)的圖像上,過點(diǎn)B作BC∥x軸,交y軸于點(diǎn)C,且AC=AB,求:
(1)這個反比例函數(shù)的解析式;
(2)直線AB(一次函數(shù))的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用“*”定義一種新運(yùn)算:對于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a*b=ab2+2ab+a.
如:1*3=1×32+2×1×3+1=16
(1)求2*(﹣2)的值;
(2)若2*x=m,(其中x為有理數(shù)),試比較m,n的大。
(3)若[]=a+4,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=10,AC=2,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于_______.
【答案】10或6
【解析】試題解析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,
如圖1所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,
此時BC=BD+CD=8+2=10;
如圖2所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,
此時BC=BD-CD=8-2=6,
則BC的長為6或10.
【題型】填空題
【結(jié)束】
12
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)y=2x+1的圖象經(jīng)過P1(x1,y1)、P2(x2,y2)兩點(diǎn),若x1<x2,則y1 ______ y2.(填“>”“<”或“=”)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的5×5網(wǎng)格中,小方格的邊長為1.
(1)圖中格點(diǎn)正方形ABCD的面積為________;
(2)若連接AC,則以AC為邊的正方形的面積為________;
(3)在所給網(wǎng)格中畫一個格點(diǎn)正方形,使其各邊都不在格線上且面積最大,你所畫的正方形面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三角形ABC為等腰直角三角形,其中∠A=90°,BC長為6.
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,并寫出各個頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)將(1)中各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,將縱坐標(biāo)都乘-1,與原圖案相比,所得的圖案有什么變化?
(3)將(1)中各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都乘-2,縱坐標(biāo)保持不變,與原圖案相比,所得的圖案有什么變化?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD和正方形A1B1C1D1的對角線(正方形相對頂點(diǎn)之間所連的線段)BD,B1D1都在x軸上,O,O1分別為正方形ABCD和正方形A1B1C1D1的中心(正方形對角線的交點(diǎn)稱為正方形的中心),O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).OD=3,O1D1=2.
(1)如果O1在x軸上平移時,正方形A1B1C1D1也隨之平移,其形狀、大小沒有改變,當(dāng)中心O1在x軸上平移到兩個正方形只有一個公共點(diǎn)時,求此時正方形A1B1C1D1各頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如果O在x軸上平移時,正方形ABCD也隨之平移,其形狀、大小沒有改變,當(dāng)中心O在x軸上平移到兩個正方形公共部分的面積為2個平方單位時,求此時正方形ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OB,AB表示甲、乙兩名同學(xué)運(yùn)動的一次函數(shù)圖象,圖中s和t分別表示運(yùn)動路程和時間,已知甲的速度比乙快,下列說法:①射線AB表示甲的路程與時間的函數(shù)關(guān)系;②甲的速度比乙快1.5 m/s;③乙在甲前面12 m處起跑;④ 8 s后,甲超過了乙.其中正確的說法是( )
A. ①② B. ②③④ C. ②③ D. ①③④
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