Question

如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC邊上的一個動點
（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=45°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍，并求出當BD為何值時AE取得最小值？
（3）在AC上是否存在點E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形的性質及三角形內角與外角的關系，易證△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，對應邊成比例及等腰直角三角形的性質可求出y與x的函數關系式，根據函數圖象的頂點坐標可求出其最小值．
（3）當△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論求出滿足題意的AE的長即可．
解答：（1）證明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴=
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，DC=-x，EC=1-y，
∴=，y=x²-x+1=（x-）²+，
當x=時，y有最小值，最小值為；

（3）當AD=DE時，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即x-x²=x，
∵x≠0，
∴等式左右兩邊同時除以x得：x=-1
∴AE=1-x=2-，
當AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，
所以，AE=；
當AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；
綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，
AE的長為2-或．
點評：此題綜合考查了二次函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，但難度適中，是一道好題．