Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．M為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON=1．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，

∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，

∴△MND∽△CNB，

∴ ，

∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，

∴MD= AD= BC，即 = ，

∴ = ，即BN=2DN，

設(shè)OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，

∴x+1=2（x﹣1），

解得：x=3，

∴BD=2x=6；

（2）解：∵△MND∽△CNB，且相似比為1：2，

∴MN：CN=DN：BN=1：2，

∴S△MND= S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．

∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6

∴S四邊形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．

【解析】（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對(duì)邊平行且相等，且對(duì)角線互相平分，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出三角形MND與三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設(shè)OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長(zhǎng)；（2）由相似三角形相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND ， 最后由S四邊形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．