【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如圖1,若點D關于直線AE的對稱點為F,求證:△ADF∽△ABC;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
(3)如圖3,若α=45°,點E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)成立,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根據(jù)兩邊對應成比例,夾角相等兩三角形相似證明;
(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BD,全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可;
(3)作點D關于AE的對稱點F,連接EF、CF,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BD,全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可.
試題解析:(1)∵點D關于直線AE的對稱點為F,
∴∠EAF=∠DAE,AD=AF,
又∵∠BAC=2∠DAE,
∴∠BAC=∠DAF,
∵AB=AC,
∴,
∴△ADF∽△ABC;
(2)∵點D關于直線AE的對稱點為F,
∴EF=DE,AF=AD,
∵α=45°,
∴∠BAD=90°﹣∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2;
(3)DE2=BD2+CE2還能成立.
理由如下:作點D關于AE的對稱點F,連接EF、CF,
由軸對稱的性質(zhì)得,EF=DE,AF=AD,
∵α=45°,
∴∠BAD=90°﹣∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
由(2)得:CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市某中學藝術節(jié)期間,向全校學生征集書畫作品.九年級美術王老師從全年級14個班中隨機抽取了4個班,對征集到的作品的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計,制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)王老師采取的調(diào)查方式是 (填“普查”或“抽樣調(diào)查”),王老師所調(diào)查的4個班征集到作品共 件,其中b班征集到作品 件,請把圖2補充完整;
(2)王老師所調(diào)查的四個班平均每個班征集作品多少件?請估計全年級共征集到作品多少件?
(3)如果全年級參展作品中有5件獲得一等獎,其中有3名作者是男生,2名作者是女生.現(xiàn)在要在其中抽兩人去參加學?偨Y表彰座談會,請直接寫出恰好抽中一男一女的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(﹣3,6),則下列各點中不在此函數(shù)圖象上的是( 。
A. (3,﹣6) B. (6,3) C. (﹣2,9) D. (﹣9,2)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市教育局為了解該市2006年九年級學生的身體素質(zhì)情況,隨機抽取了1000名九年級學生進行檢測,身體素質(zhì)達標率為95%,請你估計該市12萬名九年級學生中,身體素質(zhì)達標的大約有_____萬人.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù) y=3-x,下列結論正確的是( )
A.y 的值隨 x 的增大而增大B.它的圖象必經(jīng)過點(-1,3)
C.它的圖象不經(jīng)過第三象限D.當 x>1 時,y<0.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】計算:
(1)(﹣3)+(﹣4)﹣(+11)﹣(﹣19)
(2)﹣10﹣8÷(﹣2)×(﹣)
(3)(﹣)×30÷(﹣)
(4)(﹣+﹣)×|﹣12|
(5)18×+13×﹣4×.
(6)(﹣36)÷9.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點.
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出kx+b-<0的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】地球上的海洋面積約為361 000 000平方千米,數(shù)字361 000 000用科學記數(shù)法表示為( )
A. 36.1×107 B. 0.36×109
C. 3.61×108 D. 3.61×107
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com