Question

【題目】問題背景：如圖1設(shè)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度數(shù)．小君研究這個(gè)問題的思路是：將△ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABP'，易證：△APP'是等邊三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，則∠BPC＝　 　°．

（2）如圖3，在等邊△ABC中，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，則PC＝　 　．

拓展廷伸：（3）如圖4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求證：BD＝AD+DC．

（4）若圖4中的等腰直角△ABC與Rt△ADC在同側(cè)如圖5，若AD＝2，DC＝4，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）135；（2）13；（3）見解析；（4）

【解析】

簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）先利用旋轉(zhuǎn)得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，再根據(jù)勾股定理得出PP'＝CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'為斜邊的直角三角形，即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，進(jìn)而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；

拓展廷伸：（3）先利用旋轉(zhuǎn)得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判斷出點(diǎn)D'在DC的延長(zhǎng)線上，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；

（4）先利用旋轉(zhuǎn)得出BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，再判斷出點(diǎn)D'在AD的延長(zhǎng)線上，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解：簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）如圖2，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝90°，AC＝BC，將

△ACP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP'，連接PP'，

∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，

∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，

根據(jù)勾股定理得，PP'＝CP＝4，

∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，

∴△BPP'是以BP'為斜邊的直角三角形，

∴∠BPP'＝90°，

∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，

故答案為：135；

（2）如圖3，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，AC＝AB，

將△ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABP'，連接PP'，

∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，

∴△APP'是等邊三角形，

∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，

∵∠APB＝150°，

∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，

根據(jù)勾股定理得，BP'＝＝13，

∴CP＝13，

故答案為：13；

拓展廷伸：（3）如圖4，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD'，

∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∴∠BCD+∠BCD'＝180°，

∴點(diǎn)D'在DC的延長(zhǎng)線上，

∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，

在Rt△DBD'中，DD'＝BD，

∴BD＝CD+AD；

（4）如圖5，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

連接BD，將△CBD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABD'，

∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，

AB與CD的交點(diǎn)記作G，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，

∵∠AGD＝∠BGC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴∠BAD＝∠BAD'，

∴點(diǎn)D'在AD的延長(zhǎng)線上，

∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，

在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝．