【題目】已知四邊形ABCD為矩形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AD=AO.點(diǎn)E、F為矩形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠EOF=60°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、F分別位于AB、AD邊上時(shí),若∠OEB=75°,求證:DF=AE;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E、F同時(shí)位于AB邊上時(shí),若∠OFB=75°,試說明AF與BE的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、F同時(shí)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),將△OEF沿OE所在直線翻折至△OEP,取線段CB的中點(diǎn)Q.連接PQ,若AD=2a(a>0),則當(dāng)PQ最短時(shí),求PF之長.
【答案】(1)見解析;(2)AF=2BE,見解析;(3)a
【解析】
(1)如圖1中,在OD上取一點(diǎn)K,使得OK=OE,連接DK.想辦法證明DK=AE,DF=DK即可解決問題.
(2)如圖2中,將△OAF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OBJ,連接JE.想辦法證明∠JEB=90°,∠EJB=30°可得結(jié)論.
(3)如圖3中,連接BP.證明△OAF≌△OBP(SAS),推出∠PBC=30°,如圖3﹣1中,當(dāng)QP⊥PB時(shí),PQ的值最小,作FH⊥OA于H,OM⊥PF于M.解直角三角形求出FM即可解決問題.
(1)證明:如圖1中,在OD上取一點(diǎn)K,使得OK=OE,連接DK.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴OD=OA,∠DAB=90°,
∵AD=AO,
∴AD=AO=OD,
∴△OAD是等邊三角形,
∴∠DOA=∠EOF=∠DAO=∠ADO=60°,
∴∠DOK=∠AOE,∠OAE=90°﹣60°=30°,
∵OD=OA,OK=OE,
∴△DOK≌△AOE(SAS),
∴DK=AE,∠ODK=∠OAE=30°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∵∠OEB=75°,
∴∠OEB=∠BOE=75°,
∵∠EOF=60°,
∴∠DOK=180°﹣75°﹣60°=45°,
∴∠DFO=180°﹣60°﹣45°=75°,∠DKO=∠ODK+∠DOK=75°,
∴∠DFK=∠DKF=75°,
∴DF=DK,
∴DF=AE.
(2)解:結(jié)論:AF=2BE.
理由:如圖2中,將△OAF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OBJ,連接JE.
∵∠AOB=120°,∠EOF=60°,
∴∠BOJ+∠BOE=∠AOF+∠BOE=60°,
∴∠EOJ=∠EOF,
∵OF=OJ,OE=OE,
∴△EOF≌△EOJ(SAS),
∴∠OEF=∠OEJ,
∵∠OFB=75°,∠OBF=30°,
∴∠BOF=75°,
∴∠BOE=75°﹣60°=15°,
∴∠FEO=∠BOE+∠OBE=45°,
∴∠OEF=∠OEJ=45°,
∴∠JEB=∠JEF=90°,
∵∠OBJ=∠OAF=30°,∠OBE=30°,
∴∠EBJ=60°,
∴∠EJB=90°﹣60°=30°,
∴BJ=2BE,
∵AF=BJ,
∴AF=2BE.
(3)解:如圖3中,連接BP.
由翻折可知:OE=OP,∠EOF=∠EOP=60°,
∴∠FOP=∠AOB=120°,
∴∠AOF=∠BOP,
∵OA=OB,
∴△OAF≌△OBP(SAS),
∴∠OBP=∠OAF=30°,AF=BP,
∵∠OBC=60°,
∴∠PBC=30°,
如圖3﹣1中,當(dāng)QP⊥PB時(shí),PQ的值最小,作FH⊥OA于H,OM⊥PF于M.
在Rt△PQB中,∵∠QPB=90°,∠PBQ=30°,BQ=BC=AD=a,
∴PB=AF=BQcos30°=a,
在Rt△AFH中,則有AH=AFcos30°=a,FH=AF=,
∴OH=OA﹣AH=2a﹣a=,
∴OF=,
∵OF=OP,OM⊥PF,
∴FM=MP=OFcos30°=,
∴FP=2FM=a.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等邊△OAB和菱形OCDE的邊OA,OE都在x軸上,點(diǎn)C在OB邊上,S△ABD=,反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,則k的值為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在中,,點(diǎn)為上一點(diǎn),以點(diǎn)為圓心,為半徑的與相切于點(diǎn),交的延長線于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,,求的半徑和的長.
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【題目】如圖,菱形OABC的一邊OA在x軸負(fù)半軸上.O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(﹣13,0),對(duì)角線AC與OB相交于點(diǎn)D,且ACOB=130,若反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,并與BC的延長線交于點(diǎn)E.
(1)求雙曲線y=的解析式;
(2)求S△AOB:S△OCE之值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校開展征文活動(dòng),征文主題只能從“愛國”、“敬業(yè)”、“誠信”、“友善”四個(gè)主題中選擇一個(gè),每名學(xué)生按要求都上交了一份征文,學(xué)校為了解選擇各種征文主題的學(xué)生人數(shù),隨機(jī)抽取了部分征文進(jìn)行了調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,選擇“愛國”主題所對(duì)應(yīng)的圓心角是_____度;
(3)如果該校七年級(jí)共有1200名考生,請(qǐng)估計(jì)選擇以“友善”為主題的七年級(jí)學(xué)生有______名;
(4)學(xué)生會(huì)宣傳部有七年級(jí)的2名男生和2名女生,現(xiàn)從中隨機(jī)挑選2名同學(xué)參加“主題征文”宣傳活動(dòng),請(qǐng)用樹狀圖法或列表法求出恰好選中“1男1女”的概率.
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【題目】如圖,在矩形中,,,點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中有且只有一個(gè)點(diǎn)到線段的距離為4,則的取值范圍是____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在AC,BC上運(yùn)動(dòng),(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,C重合),且保持AE=CF,連接DE,EF,再次運(yùn)動(dòng)變化過程中,有下列結(jié)論:①四邊形CEDF有可能成為正方形;②△DFE是等腰直角三角形;③四邊形CEDF的面積是定值.其中正確的結(jié)論是:______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的面積為20,頂點(diǎn)A在y軸上,頂點(diǎn)C在x軸上,頂點(diǎn)D在雙曲線的圖象上,邊CD交y軸于點(diǎn)E,若,則k的值為______.
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